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Calcolatore del Jacobiano

Calcola il Jacobiano passo dopo passo

Il calcolatore calcolerà la matrice jacobiana dell'insieme di funzioni e il determinante jacobiano (se possibile), mostrando i passaggi.

Separati da virgola.
Lascia vuoto per il rilevamento automatico oppure specifica le variabili come x,y (separate da virgola).

Se il calcolatore non è riuscito a calcolare qualcosa, oppure hai riscontrato un errore, o hai un suggerimento o un feedback, ti preghiamo di contattarci.

Il tuo input

Calcola la matrice jacobiana di $$$\left\{x = r \cos{\left(\theta \right)}, y = r \sin{\left(\theta \right)}\right\}$$$.

Soluzione

La matrice jacobiana è definita come segue: $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right].$$$

Nel nostro caso, $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial r} \left(r \cos{\left(\theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(r \cos{\left(\theta \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial r} \left(r \sin{\left(\theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(r \sin{\left(\theta \right)}\right)\end{array}\right].$$$

Trova le derivate (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate): $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right]$$$

Il determinante jacobiano è il determinante della matrice jacobiana: $$$\left|\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right| = r$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore del determinante).

Risposta

La matrice jacobiana è $$$\left[\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right]$$$A.

Il determinante giacobiano è $$$r$$$A.