Rotore di $$$\left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle$$$

Calcola $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle$$$.

Per definizione, $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \nabla\times \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle$$$, oppure, in modo equivalente, $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\e^{x} \cos{\left(y \right)} & x y^{2} & y z^{3}\end{array}\right|$$$, dove $$$\times$$$ è l'operatore del prodotto vettoriale.

Quindi, $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left\langle \frac{\partial}{\partial y} \left(y z^{3}\right) - \frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2}\right), \frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right) - \frac{\partial}{\partial x} \left(y z^{3}\right), \frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2}\right) - \frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right)\right\rangle.$$$

Trova le derivate parziali:

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(y z^{3}\right) = z^{3}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2}\right) = 0$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right) = 0$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate).

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(y z^{3}\right) = 0$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate).

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2}\right) = y^{2}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(e^{x} \cos{\left(y \right)}\right) = - e^{x} \sin{\left(y \right)}$$$ (per i passaggi, vedi calcolatore di derivate).

Ora, basta sostituire le derivate parziali trovate per ottenere il rotore: $$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left\langle z^{3}, 0, y^{2} + e^{x} \sin{\left(y \right)}\right\rangle$$$

$$$\operatorname{curl} \left\langle e^{x} \cos{\left(y \right)}, x y^{2}, y z^{3}\right\rangle = \left\langle z^{3}, 0, y^{2} + e^{x} \sin{\left(y \right)}\right\rangle$$$A