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Converti $$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$ in coordinate cartesiane
Calcolatore correlato: Calcolatore per coordinate polari/rettangolari
Il tuo input
Converti $$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$ in coordinate cartesiane.
Soluzione
Applica la formula $$$\cos{\left(3 \alpha \right)} = \cos^{3}{\left(\alpha \right)} - 3 \sin^{2}{\left(\alpha \right)} \cos{\left(\alpha \right)}$$$ con $$$\alpha = \theta$$$: $$$16 r = - 3 \sin^{2}{\left(\theta \right)} \cos{\left(\theta \right)} + \cos^{3}{\left(\theta \right)}$$$.
Da $$$x = r \cos{\left(\theta \right)}$$$ e $$$y = r \sin{\left(\theta \right)}$$$, si ha che $$$\cos{\left(\theta \right)} = \frac{x}{r}$$$, $$$\sin{\left(\theta \right)} = \frac{y}{r}$$$, $$$\tan{\left(\theta \right)} = \frac{y}{x}$$$ e $$$\cot{\left(\theta \right)} = \frac{x}{y}$$$.
L'input diventa $$$16 r = \frac{x^{3}}{r^{3}} - \frac{3 x y^{2}}{r^{3}}$$$.
Semplifica: l'input ora assume la forma $$$16 r^{4} - x^{3} + 3 x y^{2} = 0$$$.
Nelle coordinate cartesiane, $$$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$$$ e $$$\theta = \operatorname{atan}{\left(\frac{y}{x} \right)}$$$.
Pertanto, l'input può essere riscritto come $$$- x^{3} + 3 x y^{2} + 16 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2} = 0$$$.
Risposta
$$$16 r = \cos{\left(3 \theta \right)}$$$A in coordinate cartesiane è $$$- x^{3} + 3 x y^{2} + 16 \left(x^{2} + y^{2}\right)^{2} = 0$$$A.