Radici razionali possibili ed effettive di $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 31 x - 30$$$
Il tuo input
Trova gli zeri razionali di $$$x^{3} - 31 x - 30 = 0$$$.
Soluzione
Poiché tutti i coefficienti sono interi, possiamo applicare il teorema delle radici razionali.
L'ultimo coefficiente (il coefficiente del termine costante) è $$$-30$$$.
Trova i suoi fattori (con il segno più e il segno meno): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.
Questi sono i possibili valori di $$$p$$$.
Il coefficiente principale (il coefficiente del termine di grado massimo) è $$$1$$$.
Trova i suoi fattori (con il segno più e il segno meno): $$$\pm 1$$$.
Questi sono i possibili valori di $$$q$$$.
Trova tutti i valori possibili di $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$, $$$\pm \frac{30}{1}$$$.
Semplifica e rimuovi i duplicati (se presenti).
Queste sono le possibili radici razionali: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.
Successivamente, verifica le radici possibili: se $$$a$$$ è una radice del polinomio $$$P{\left(x \right)}$$$, il resto della divisione di $$$P{\left(x \right)}$$$ per $$$x - a$$$ dovrebbe essere uguale a $$$0$$$ (secondo il teorema del resto, ciò significa che $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Verifica $$$1$$$: dividi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ per $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -60$$$; pertanto, il resto è $$$-60$$$.
Verifica $$$-1$$$: dividi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ per $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; pertanto, il resto è $$$0$$$.
Quindi, $$$-1$$$ è una radice.
Verifica $$$2$$$: dividi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ per $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = -84$$$; pertanto, il resto è $$$-84$$$.
Verifica $$$-2$$$: dividi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ per $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = 24$$$; pertanto, il resto è $$$24$$$.
Verifica $$$3$$$: dividi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ per $$$x - 3$$$.
$$$P{\left(3 \right)} = -96$$$; pertanto, il resto è $$$-96$$$.
Verifica $$$-3$$$: dividi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ per $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.
$$$P{\left(-3 \right)} = 36$$$; pertanto, il resto è $$$36$$$.
Verifica $$$5$$$: dividi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ per $$$x - 5$$$.
$$$P{\left(5 \right)} = -60$$$; pertanto, il resto è $$$-60$$$.
Verifica $$$-5$$$: dividi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ per $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.
$$$P{\left(-5 \right)} = 0$$$; pertanto, il resto è $$$0$$$.
Quindi, $$$-5$$$ è una radice.
Verifica $$$6$$$: dividi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ per $$$x - 6$$$.
$$$P{\left(6 \right)} = 0$$$; pertanto, il resto è $$$0$$$.
Quindi, $$$6$$$ è una radice.
Verifica $$$-6$$$: dividi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ per $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.
$$$P{\left(-6 \right)} = -60$$$; pertanto, il resto è $$$-60$$$.
Verifica $$$10$$$: dividi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ per $$$x - 10$$$.
$$$P{\left(10 \right)} = 660$$$; pertanto, il resto è $$$660$$$.
Verifica $$$-10$$$: dividi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ per $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$.
$$$P{\left(-10 \right)} = -720$$$; pertanto, il resto è $$$-720$$$.
Verifica $$$15$$$: dividi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ per $$$x - 15$$$.
$$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$; pertanto, il resto è $$$2880$$$.
Verifica $$$-15$$$: dividi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ per $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$.
$$$P{\left(-15 \right)} = -2940$$$; pertanto, il resto è $$$-2940$$$.
Verifica $$$30$$$: dividi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ per $$$x - 30$$$.
$$$P{\left(30 \right)} = 26040$$$; pertanto, il resto è $$$26040$$$.
Verifica $$$-30$$$: dividi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ per $$$x - \left(-30\right) = x + 30$$$.
$$$P{\left(-30 \right)} = -26100$$$; pertanto, il resto è $$$-26100$$$.
Risposta
Possibili radici razionali: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$A.
Radici razionali effettive: $$$-1$$$, $$$-5$$$, $$$6$$$A.