Radici razionali possibili ed effettive di $$$f{\left(x \right)} = 4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$

Trova gli zeri razionali di $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9 = 0$$$.

Poiché tutti i coefficienti sono interi, possiamo applicare il teorema delle radici razionali.

L'ultimo coefficiente (il coefficiente del termine costante) è $$$9$$$.

Trova i suoi fattori (con il segno più e il segno meno): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.

Questi sono i possibili valori di $$$p$$$.

Il coefficiente principale (il coefficiente del termine di grado massimo) è $$$4$$$.

Trova i suoi fattori (con il segno più e il segno meno): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$.

Questi sono i possibili valori di $$$q$$$.

Trova tutti i valori possibili di $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

Semplifica e rimuovi i duplicati (se presenti).

Queste sono le possibili radici razionali: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

Successivamente, verifica le radici possibili: se $$$a$$$ è una radice del polinomio $$$P{\left(x \right)}$$$, il resto della divisione di $$$P{\left(x \right)}$$$ per $$$x - a$$$ dovrebbe essere uguale a $$$0$$$ (secondo il teorema del resto, ciò significa che $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Verifica $$$1$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = -24$$$; pertanto, il resto è $$$-24$$$.

• Verifica $$$-1$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = -24$$$; pertanto, il resto è $$$-24$$$.

• Verifica $$$\frac{1}{2}$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$; pertanto, il resto è $$$0$$$.

  Quindi, $$$\frac{1}{2}$$$ è una radice.

• Verifica $$$- \frac{1}{2}$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = 0$$$; pertanto, il resto è $$$0$$$.

  Quindi, $$$- \frac{1}{2}$$$ è una radice.

• Verifica $$$\frac{1}{4}$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - \frac{1}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; pertanto, il resto è $$$\frac{429}{64}$$$.

• Verifica $$$- \frac{1}{4}$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - \left(- \frac{1}{4}\right) = x + \frac{1}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; pertanto, il resto è $$$\frac{429}{64}$$$.

• Verifica $$$3$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - 3$$$.

  $$$P{\left(3 \right)} = 0$$$; pertanto, il resto è $$$0$$$.

  Quindi, $$$3$$$ è una radice.

• Verifica $$$-3$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.

  $$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$; pertanto, il resto è $$$0$$$.

  Quindi, $$$-3$$$ è una radice.

• Verifica $$$\frac{3}{2}$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - \frac{3}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = -54$$$; pertanto, il resto è $$$-54$$$.

• Verifica $$$- \frac{3}{2}$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = -54$$$; pertanto, il resto è $$$-54$$$.

• Verifica $$$\frac{3}{4}$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - \frac{3}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; pertanto, il resto è $$$- \frac{675}{64}$$$.

• Verifica $$$- \frac{3}{4}$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - \left(- \frac{3}{4}\right) = x + \frac{3}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; pertanto, il resto è $$$- \frac{675}{64}$$$.

• Verifica $$$9$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - 9$$$.

  $$$P{\left(9 \right)} = 23256$$$; pertanto, il resto è $$$23256$$$.

• Verifica $$$-9$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.

  $$$P{\left(-9 \right)} = 23256$$$; pertanto, il resto è $$$23256$$$.

• Verifica $$$\frac{9}{2}$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - \frac{9}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{9}{2} \right)} = 900$$$; pertanto, il resto è $$$900$$$.

• Verifica $$$- \frac{9}{2}$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - \left(- \frac{9}{2}\right) = x + \frac{9}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{9}{2} \right)} = 900$$$; pertanto, il resto è $$$900$$$.

• Verifica $$$\frac{9}{4}$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - \frac{9}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; pertanto, il resto è $$$- \frac{4851}{64}$$$.

• Verifica $$$- \frac{9}{4}$$$: dividi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ per $$$x - \left(- \frac{9}{4}\right) = x + \frac{9}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; pertanto, il resto è $$$- \frac{4851}{64}$$$.

Possibili radici razionali: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$A.

Radici razionali effettive: $$$\frac{1}{2}$$$, $$$- \frac{1}{2}$$$, $$$3$$$, $$$-3$$$A.