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Calcolatore del teorema delle radici razionali

Trova tutti i possibili zeri razionali dei polinomi passo dopo passo

Il calcolatore troverà tutte le possibili radici razionali del polinomio usando il teorema delle radici razionali. Dopodiché deciderà quali tra le possibili radici sono effettivamente radici del polinomio. Si tratta di un caso più generale del teorema delle radici intere (integrali) (quando il coefficiente direttivo è $$$1$$$ o $$$-1$$$). I passaggi sono disponibili.

Se il calcolatore non è riuscito a calcolare qualcosa, oppure hai riscontrato un errore, o hai un suggerimento o un feedback, ti preghiamo di contattarci.

Il tuo input

Trova gli zeri razionali di $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7 = 0$$$.

Soluzione

Poiché tutti i coefficienti sono interi, possiamo applicare il teorema delle radici razionali.

L'ultimo coefficiente (il coefficiente del termine costante) è $$$7$$$.

Trova i suoi fattori (con il segno più e il segno meno): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 7$$$.

Questi sono i possibili valori di $$$p$$$.

Il coefficiente principale (il coefficiente del termine di grado massimo) è $$$2$$$.

Trova i suoi fattori (con il segno più e il segno meno): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$.

Questi sono i possibili valori di $$$q$$$.

Trova tutti i valori possibili di $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{7}{1}$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.

Semplifica e rimuovi i duplicati (se presenti).

Queste sono le possibili radici razionali: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$.

Successivamente, verifica le radici possibili: se $$$a$$$ è una radice del polinomio $$$P{\left(x \right)}$$$, il resto della divisione di $$$P{\left(x \right)}$$$ per $$$x - a$$$ dovrebbe essere uguale a $$$0$$$ (secondo il teorema del resto, ciò significa che $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

  • Verifica $$$1$$$: dividi $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ per $$$x - 1$$$.

    $$$P{\left(1 \right)} = -12$$$; pertanto, il resto è $$$-12$$$.

  • Verifica $$$-1$$$: dividi $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ per $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

    $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; pertanto, il resto è $$$0$$$.

    Quindi, $$$-1$$$ è una radice.

  • Verifica $$$\frac{1}{2}$$$: dividi $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ per $$$x - \frac{1}{2}$$$.

    $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$; pertanto, il resto è $$$0$$$.

    Quindi, $$$\frac{1}{2}$$$ è una radice.

  • Verifica $$$- \frac{1}{2}$$$: dividi $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ per $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = \frac{27}{4}$$$; pertanto, il resto è $$$\frac{27}{4}$$$.

  • Verifica $$$7$$$: dividi $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ per $$$x - 7$$$.

    $$$P{\left(7 \right)} = 4368$$$; pertanto, il resto è $$$4368$$$.

  • Verifica $$$-7$$$: dividi $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ per $$$x - \left(-7\right) = x + 7$$$.

    $$$P{\left(-7 \right)} = 3780$$$; pertanto, il resto è $$$3780$$$.

  • Verifica $$$\frac{7}{2}$$$: dividi $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ per $$$x - \frac{7}{2}$$$.

    $$$P{\left(\frac{7}{2} \right)} = \frac{567}{4}$$$; pertanto, il resto è $$$\frac{567}{4}$$$.

  • Verifica $$$- \frac{7}{2}$$$: dividi $$$2 x^{4} + x^{3} - 15 x^{2} - 7 x + 7$$$ per $$$x - \left(- \frac{7}{2}\right) = x + \frac{7}{2}$$$.

    $$$P{\left(- \frac{7}{2} \right)} = 105$$$; pertanto, il resto è $$$105$$$.

Risposta

Possibili radici razionali: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm 7$$$, $$$\pm \frac{7}{2}$$$A.

Radici razionali effettive: $$$-1$$$, $$$\frac{1}{2}$$$A.