Dividi $$$x^{3} + 7 x^{2} + 1$$$ per $$$x - 1$$$

Scrivi il problema nel formato speciale (i termini mancanti si scrivono con coefficienti nulli):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x-1&x^{3}+7 x^{2}+0 x+1\end{array}$$$

Passo 1

Dividi il termine di grado più alto del dividendo per il termine di grado più alto del divisore: $$$\frac{x^{3}}{x} = x^{2}$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$x^{2} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}$$$.

Sottrai il dividendo dal risultato ottenuto: $$$\left(x^{3}+7 x^{2}+1\right) - \left(x^{3}- x^{2}\right) = 8 x^{2}+1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkMagenta}x^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{DarkMagenta}x^{3}}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\frac{{\color{DarkMagenta}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkMagenta}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DarkMagenta}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&8 x^{2}&+0 x&+1&\end{array}$$

Passo 2

Dividi il termine di grado massimo del resto ottenuto per il termine di grado massimo del divisore: $$$\frac{8 x^{2}}{x} = 8 x$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$8 x \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x$$$.

Sottrai il resto dal risultato ottenuto: $$$\left(8 x^{2}+1\right) - \left(8 x^{2}- 8 x\right) = 8 x+1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&{\color{Green}+8 x}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Green}8 x^{2}}&+0 x&+1&\frac{{\color{Green}8 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}8 x}\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&{\color{Green}8 x} \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x\\\hline\\&&&8 x&+1&\end{array}$$

Passo 3

Dividi il termine di grado massimo del resto ottenuto per il termine di grado massimo del divisore: $$$\frac{8 x}{x} = 8$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$8 \left(x-1\right) = 8 x-8$$$.

Sottrai il resto dal risultato ottenuto: $$$\left(8 x+1\right) - \left(8 x-8\right) = 9$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x^{2}&+8 x&{\color{Purple}+8}&&\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&x^{3}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&8 x^{2}&+0 x&+1&\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&\\\hline\\&&&{\color{Purple}8 x}&+1&\frac{{\color{Purple}8 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Purple}8}\\&&&-\phantom{8 x}&&\\&&&8 x&-8&{\color{Purple}8} \left(x-1\right) = 8 x-8\\\hline\\&&&&9&\end{array}$$

Poiché il grado del resto è minore del grado del divisore, abbiamo finito.

La tabella risultante è mostrata nuovamente:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkMagenta}x^{2}}&{\color{Green}+8 x}&{\color{Purple}+8}&&\text{Suggerimenti}\\\hline\\{\color{Magenta}x}-1&{\color{DarkMagenta}x^{3}}&+7 x^{2}&+0 x&+1&\frac{{\color{DarkMagenta}x^{3}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{DarkMagenta}x^{2}}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DarkMagenta}x^{2}} \left(x-1\right) = x^{3}- x^{2}\\\hline\\&&{\color{Green}8 x^{2}}&+0 x&+1&\frac{{\color{Green}8 x^{2}}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Green}8 x}\\&&-\phantom{8 x^{2}}&&&\\&&8 x^{2}&- 8 x&&{\color{Green}8 x} \left(x-1\right) = 8 x^{2}- 8 x\\\hline\\&&&{\color{Purple}8 x}&+1&\frac{{\color{Purple}8 x}}{{\color{Magenta}x}} = {\color{Purple}8}\\&&&-\phantom{8 x}&&\\&&&8 x&-8&{\color{Purple}8} \left(x-1\right) = 8 x-8\\\hline\\&&&&9&\end{array}$$

Pertanto, $$$\frac{x^{3} + 7 x^{2} + 1}{x - 1} = \left(x^{2} + 8 x + 8\right) + \frac{9}{x - 1}$$$.