Dividi $$$x^{4}$$$ per $$$x^{2} - 1$$$

Scrivi il problema nel formato speciale (i termini mancanti si scrivono con coefficienti nulli):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}-1&x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Passo 1

Dividi il termine di grado più alto del dividendo per il termine di grado più alto del divisore: $$$\frac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2}$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$x^{2} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}$$$.

Sottrai il dividendo dal risultato ottenuto: $$$\left(x^{4}\right) - \left(x^{4}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{DarkCyan}x^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{DarkCyan}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkCyan}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DarkCyan}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DarkCyan}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Passo 2

Dividi il termine di grado massimo del resto ottenuto per il termine di grado massimo del divisore: $$$\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$1 \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1$$$.

Sottrai il resto dal risultato ottenuto: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{2}&{\color{Peru}+1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Peru}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Peru}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Peru}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{Peru}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Poiché il grado del resto è minore del grado del divisore, abbiamo finito.

La tabella risultante è mostrata nuovamente:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{DarkCyan}x^{2}}&{\color{Peru}+1}&&&&\text{Suggerimenti}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{DarkCyan}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkCyan}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DarkCyan}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{DarkCyan}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&{\color{Peru}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Peru}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Peru}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{Peru}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Pertanto, $$$\frac{x^{4}}{x^{2} - 1} = \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2} - 1}$$$.