Dividi $$$y^{3}$$$ per $$$1 - y$$$

Scrivi il problema nel formato speciale (i termini mancanti si scrivono con coefficienti nulli):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- y+1&y^{3}+0 y^{2}+0 y+0\end{array}$$$

Passo 1

Dividi il termine di grado più alto del dividendo per il termine di grado più alto del divisore: $$$\frac{y^{3}}{- y} = - y^{2}$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$- y^{2} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}$$$.

Sottrai il dividendo dal risultato ottenuto: $$$\left(y^{3}\right) - \left(y^{3}- y^{2}\right) = y^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkMagenta}- y^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{DarkMagenta}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{DarkMagenta}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{DarkMagenta}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\end{array}$$

Passo 2

Dividi il termine di grado massimo del resto ottenuto per il termine di grado massimo del divisore: $$$\frac{y^{2}}{- y} = - y$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$- y \left(- y+1\right) = y^{2}- y$$$.

Sottrai il resto dal risultato ottenuto: $$$\left(y^{2}\right) - \left(y^{2}- y\right) = y$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&{\color{BlueViolet}- y}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{BlueViolet}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{BlueViolet}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{BlueViolet}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{BlueViolet}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&y&+0&\end{array}$$

Passo 3

Dividi il termine di grado massimo del resto ottenuto per il termine di grado massimo del divisore: $$$\frac{y}{- y} = -1$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$- \left(- y+1\right) = y-1$$$.

Sottrai il resto dal risultato ottenuto: $$$\left(y\right) - \left(y-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&- y&{\color{Fuchsia}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&\\\hline\\&&&{\color{Fuchsia}y}&+0&\frac{{\color{Fuchsia}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Fuchsia}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{Fuchsia}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Poiché il grado del resto è minore del grado del divisore, abbiamo finito.

La tabella risultante è mostrata nuovamente:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkMagenta}- y^{2}}&{\color{BlueViolet}- y}&{\color{Fuchsia}-1}&&\text{Suggerimenti}\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{DarkMagenta}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{DarkMagenta}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{DarkMagenta}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&{\color{BlueViolet}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{BlueViolet}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{BlueViolet}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{BlueViolet}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&{\color{Fuchsia}y}&+0&\frac{{\color{Fuchsia}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Fuchsia}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{Fuchsia}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Pertanto, $$$\frac{y^{3}}{1 - y} = \left(- y^{2} - y - 1\right) + \frac{1}{1 - y}$$$.