Dividi $$$u^{3}$$$ per $$$u - 1$$$

Scrivi il problema nel formato speciale (i termini mancanti si scrivono con coefficienti nulli):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u-1&u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Passo 1

Dividi il termine di grado più alto del dividendo per il termine di grado più alto del divisore: $$$\frac{u^{3}}{u} = u^{2}$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$u^{2} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}$$$.

Sottrai il dividendo dal risultato ottenuto: $$$\left(u^{3}\right) - \left(u^{3}- u^{2}\right) = u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Fuchsia}u^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Fuchsia}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Fuchsia}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Fuchsia}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Fuchsia}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Passo 2

Dividi il termine di grado massimo del resto ottenuto per il termine di grado massimo del divisore: $$$\frac{u^{2}}{u} = u$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$u \left(u-1\right) = u^{2}- u$$$.

Sottrai il resto dal risultato ottenuto: $$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&{\color{Peru}+u}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{Peru}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Peru}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Peru}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{Peru}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&u&+0&\end{array}$$

Passo 3

Dividi il termine di grado massimo del resto ottenuto per il termine di grado massimo del divisore: $$$\frac{u}{u} = 1$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$1 \left(u-1\right) = u-1$$$.

Sottrai il resto dal risultato ottenuto: $$$\left(u\right) - \left(u-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&+u&{\color{SaddleBrown}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&\\\hline\\&&&{\color{SaddleBrown}u}&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{SaddleBrown}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{SaddleBrown}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Poiché il grado del resto è minore del grado del divisore, abbiamo finito.

La tabella risultante è mostrata nuovamente:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Fuchsia}u^{2}}&{\color{Peru}+u}&{\color{SaddleBrown}+1}&&\text{Suggerimenti}\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Fuchsia}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Fuchsia}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Fuchsia}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Fuchsia}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&{\color{Peru}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Peru}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Peru}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{Peru}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&{\color{SaddleBrown}u}&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{SaddleBrown}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{SaddleBrown}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Pertanto, $$$\frac{u^{3}}{u - 1} = \left(u^{2} + u + 1\right) + \frac{1}{u - 1}$$$.