Dividi $$$u^{7}$$$ per $$$u^{2} + 1$$$

Scrivi il problema nel formato speciale (i termini mancanti si scrivono con coefficienti nulli):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{7}+0 u^{6}+0 u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Passo 1

Dividi il termine di grado più alto del dividendo per il termine di grado più alto del divisore: $$$\frac{u^{7}}{u^{2}} = u^{5}$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$u^{5} \left(u^{2}+1\right) = u^{7}+u^{5}$$$.

Sottrai il dividendo dal risultato ottenuto: $$$\left(u^{7}\right) - \left(u^{7}+u^{5}\right) = - u^{5}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrrr:c}&{\color{DarkCyan}u^{5}}&&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DarkCyan}u^{7}}&+0 u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkCyan}u^{7}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkCyan}u^{5}}\\&-\phantom{u^{7}}&&&&&&&&\\&u^{7}&+0 u^{6}&+u^{5}&&&&&&{\color{DarkCyan}u^{5}} \left(u^{2}+1\right) = u^{7}+u^{5}\\\hline\\&&&- u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Passo 2

Dividi il termine di grado massimo del resto ottenuto per il termine di grado massimo del divisore: $$$\frac{- u^{5}}{u^{2}} = - u^{3}$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$- u^{3} \left(u^{2}+1\right) = - u^{5}- u^{3}$$$.

Sottrai il resto dal risultato ottenuto: $$$\left(- u^{5}\right) - \left(- u^{5}- u^{3}\right) = u^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrrr:c}&u^{5}&{\color{BlueViolet}- u^{3}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{7}&+0 u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{7}}&&&&&&&&\\&u^{7}&+0 u^{6}&+u^{5}&&&&&&\\\hline\\&&&{\color{BlueViolet}- u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{BlueViolet}- u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{BlueViolet}- u^{3}}\\&&&-\phantom{- u^{5}}&&&&&&\\&&&- u^{5}&+0 u^{4}&- u^{3}&&&&{\color{BlueViolet}- u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = - u^{5}- u^{3}\\\hline\\&&&&&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Passo 3

Dividi il termine di grado massimo del resto ottenuto per il termine di grado massimo del divisore: $$$\frac{u^{3}}{u^{2}} = u$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$u \left(u^{2}+1\right) = u^{3}+u$$$.

Sottrai il resto dal risultato ottenuto: $$$\left(u^{3}\right) - \left(u^{3}+u\right) = - u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrrr:c}&u^{5}&- u^{3}&{\color{Red}+u}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{7}&+0 u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{7}}&&&&&&&&\\&u^{7}&+0 u^{6}&+u^{5}&&&&&&\\\hline\\&&&- u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&&&-\phantom{- u^{5}}&&&&&&\\&&&- u^{5}&+0 u^{4}&- u^{3}&&&&\\\hline\\&&&&&{\color{Red}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Red}u}\\&&&&&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&&&&&u^{3}&+0 u^{2}&+u&&{\color{Red}u} \left(u^{2}+1\right) = u^{3}+u\\\hline\\&&&&&&&- u&+0&\end{array}$$

Poiché il grado del resto è minore del grado del divisore, abbiamo finito.

La tabella risultante è mostrata nuovamente:

$$\begin{array}{r|rrrrrrrr:c}&{\color{DarkCyan}u^{5}}&{\color{BlueViolet}- u^{3}}&{\color{Red}+u}&&&&&&\text{Suggerimenti}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DarkCyan}u^{7}}&+0 u^{6}&+0 u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkCyan}u^{7}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkCyan}u^{5}}\\&-\phantom{u^{7}}&&&&&&&&\\&u^{7}&+0 u^{6}&+u^{5}&&&&&&{\color{DarkCyan}u^{5}} \left(u^{2}+1\right) = u^{7}+u^{5}\\\hline\\&&&{\color{BlueViolet}- u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{BlueViolet}- u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{BlueViolet}- u^{3}}\\&&&-\phantom{- u^{5}}&&&&&&\\&&&- u^{5}&+0 u^{4}&- u^{3}&&&&{\color{BlueViolet}- u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = - u^{5}- u^{3}\\\hline\\&&&&&{\color{Red}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Red}u}\\&&&&&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&&&&&u^{3}&+0 u^{2}&+u&&{\color{Red}u} \left(u^{2}+1\right) = u^{3}+u\\\hline\\&&&&&&&- u&+0&\end{array}$$

Pertanto, $$$\frac{u^{7}}{u^{2} + 1} = \left(u^{5} - u^{3} + u\right) + \frac{- u}{u^{2} + 1}$$$.