Dividi $$$u^{5}$$$ per $$$u^{2} + 1$$$

Scrivi il problema nel formato speciale (i termini mancanti si scrivono con coefficienti nulli):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Passo 1

Dividi il termine di grado più alto del dividendo per il termine di grado più alto del divisore: $$$\frac{u^{5}}{u^{2}} = u^{3}$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$u^{3} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}$$$.

Sottrai il dividendo dal risultato ottenuto: $$$\left(u^{5}\right) - \left(u^{5}+u^{3}\right) = - u^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Chartreuse}u^{3}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Chartreuse}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chartreuse}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Chartreuse}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Chartreuse}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Passo 2

Dividi il termine di grado massimo del resto ottenuto per il termine di grado massimo del divisore: $$$\frac{- u^{3}}{u^{2}} = - u$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$- u \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u$$$.

Sottrai il resto dal risultato ottenuto: $$$\left(- u^{3}\right) - \left(- u^{3}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&u^{3}&{\color{SaddleBrown}- u}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&\\\hline\\&&&{\color{SaddleBrown}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{SaddleBrown}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{SaddleBrown}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Poiché il grado del resto è minore del grado del divisore, abbiamo finito.

La tabella risultante è mostrata nuovamente:

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{Chartreuse}u^{3}}&{\color{SaddleBrown}- u}&&&&&\text{Suggerimenti}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Chartreuse}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Chartreuse}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Chartreuse}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{Chartreuse}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&{\color{SaddleBrown}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{SaddleBrown}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{SaddleBrown}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Pertanto, $$$\frac{u^{5}}{u^{2} + 1} = \left(u^{3} - u\right) + \frac{u}{u^{2} + 1}$$$.