Dividi $$$u^{4}$$$ per $$$u^{2} + 1$$$

Scrivi il problema nel formato speciale (i termini mancanti si scrivono con coefficienti nulli):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Passo 1

Dividi il termine di grado più alto del dividendo per il termine di grado più alto del divisore: $$$\frac{u^{4}}{u^{2}} = u^{2}$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$u^{2} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}$$$.

Sottrai il dividendo dal risultato ottenuto: $$$\left(u^{4}\right) - \left(u^{4}+u^{2}\right) = - u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{DarkCyan}u^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DarkCyan}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkCyan}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkCyan}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{DarkCyan}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&- u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Passo 2

Dividi il termine di grado massimo del resto ottenuto per il termine di grado massimo del divisore: $$$\frac{- u^{2}}{u^{2}} = -1$$$.

Scrivi il risultato calcolato nella parte superiore della tabella.

Moltiplicalo per il divisore: $$$- \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1$$$.

Sottrai il resto dal risultato ottenuto: $$$\left(- u^{2}\right) - \left(- u^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&u^{2}&{\color{Purple}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Purple}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Purple}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Purple}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{Purple}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Poiché il grado del resto è minore del grado del divisore, abbiamo finito.

La tabella risultante è mostrata nuovamente:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{DarkCyan}u^{2}}&{\color{Purple}-1}&&&&\text{Suggerimenti}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DarkCyan}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkCyan}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkCyan}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{DarkCyan}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&{\color{Purple}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Purple}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Purple}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{Purple}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Pertanto, $$$\frac{u^{4}}{u^{2} + 1} = \left(u^{2} - 1\right) + \frac{1}{u^{2} + 1}$$$.