eMathHelp Risolutore di matematica – Calcolatrice gratuita passo dopo passo

Trova $$$\int \frac{3}{x^{2} + 2}\, dx$$$.

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$ con $$$c=3$$$ e $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{x^{2} + 2}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{3}{x^{2} + 2} d x}}} = {\color{red}{\left(3 \int{\frac{1}{x^{2} + 2} d x}\right)}}$$

Sia $$$u=\frac{\sqrt{2}}{2} x$$$.

Quindi $$$du=\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{2} dx$$$ (i passaggi si possono vedere »), e si ha che $$$dx = \sqrt{2} du$$$.

L'integrale può essere riscritto come

$$3 {\color{red}{\int{\frac{1}{x^{2} + 2} d x}}} = 3 {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2}}{2 \left(u^{2} + 1\right)} d u}}}$$

Applica la regola del fattore costante $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ con $$$c=\frac{\sqrt{2}}{2}$$$ e $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$$$:

$$3 {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{2}}{2 \left(u^{2} + 1\right)} d u}}} = 3 {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}{2}\right)}}$$

L'integrale di $$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$ è $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{3 \sqrt{2} {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}}{2}$$

Ricordiamo che $$$u=\frac{\sqrt{2}}{2} x$$$:

$$\frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\frac{\sqrt{2}}{2} x}} \right)}}{2}$$

Pertanto,

$$\int{\frac{3}{x^{2} + 2} d x} = \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}$$

Aggiungi la costante di integrazione:

$$\int{\frac{3}{x^{2} + 2} d x} = \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{3}{x^{2} + 2}\, dx = \frac{3 \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2} + C$$$A