Pengali Lagrange: temukan maksimum dan minimum dari $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$, dengan kendala $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ dengan kendala $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$.

Perhatian! Kalkulator ini tidak memeriksa syarat-syarat penerapan metode pengali Lagrange. Gunakan atas risiko Anda sendiri: jawabannya mungkin salah.

Tulis ulang kendala $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ sebagai $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0$$$.

Bentuk Lagrangian: $$$L{\left(x,y,z,\lambda \right)} = x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)$$$.

Tentukan semua turunan parsial orde pertama:

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 \lambda x + y^{2} z^{3}$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right)$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right)$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).

Selanjutnya, selesaikan sistem $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, atau $$$\begin{cases} 2 \lambda x + y^{2} z^{3} = 0 \\ 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right) = 0 \\ z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0 \end{cases}.$$$

Sistem ini memiliki solusi riil berikut: $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$.

$$$f{\left(\sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(\sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$

$$$f{\left(- \sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$

Karena kita hanya menemukan satu nilai, Anda masih harus memeriksa apakah itu maksimum atau minimum. Untuk melakukannya, ambillah titik lain yang memenuhi kendala dan cari nilai fungsi di titik tersebut. Jika nilai fungsi di titik baru ini lebih kecil daripada nilai fungsi di titik asal, maka titik asal adalah maksimum. Sebaliknya, jika nilai fungsi di titik baru lebih besar, maka titik asal adalah minimum.

Tidak dapat menemukan nilai maksimum dan minimum.