|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pengali Lagrange: temukan maksimum dan minimum dari $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$, dengan kendala $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$
Kalkulator terkait: Kalkulator Titik Kritis, Ekstrema, dan Titik Pelana
Masukan Anda
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ dengan kendala $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$.
Solusi
Perhatian! Kalkulator ini tidak memeriksa syarat-syarat penerapan metode pengali Lagrange. Gunakan atas risiko Anda sendiri: jawabannya mungkin salah.
Tulis ulang kendala $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ sebagai $$$4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0$$$.
Bentuk Lagrangian: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)$$$.
Tentukan semua turunan parsial orde pertama:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 x \left(4 \lambda + 81\right)$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 y \left(\lambda + 1\right)$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 4 x^{2} + y^{2} - 9$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).
Selanjutnya, selesaikan sistem $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, atau $$$\begin{cases} 2 x \left(4 \lambda + 81\right) = 0 \\ 2 y \left(\lambda + 1\right) = 0 \\ 4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0 \end{cases}.$$$
Sistem ini memiliki solusi riil berikut: $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right)$$$.
$$$f{\left(- \frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$
$$$f{\left(0,-3 \right)} = 9$$$
$$$f{\left(0,3 \right)} = 9$$$
$$$f{\left(\frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$
Dengan demikian, nilai minimum adalah $$$9$$$, dan nilai maksimum adalah $$$\frac{729}{4}$$$.
Jawaban
Maksimum
$$$\frac{729}{4} = 182.25$$$A pada $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right) = \left(-1.5, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right) = \left(1.5, 0\right)$$$A.
Minimum
$$$9$$$A pada $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$A.