|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pengali Lagrange: temukan maksimum dan minimum dari $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$, dengan kendala $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$
Kalkulator terkait: Kalkulator Titik Kritis, Ekstrema, dan Titik Pelana
Masukan Anda
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ dengan kendala $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$.
Solusi
Perhatian! Kalkulator ini tidak memeriksa syarat-syarat penerapan metode pengali Lagrange. Gunakan atas risiko Anda sendiri: jawabannya mungkin salah.
Tulis ulang kendala $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ sebagai $$$- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0$$$.
Bentuk Lagrangian: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)$$$.
Tentukan semua turunan parsial orde pertama:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20$$$ (untuk langkah-langkah, lihat kalkulator turunan parsial).
Selanjutnya, selesaikan sistem $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, atau $$$\begin{cases} - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4 = 0 \\ - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1 = 0 \\ - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0 \end{cases}.$$$
Sistem ini memiliki solusi real berikut: $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$.
$$$f{\left(8,32 \right)} = 64$$$
Ambil titik $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{801}{100}, \frac{25600}{801}\right)$$$.
Karena $$$f{\left(\frac{801}{100},\frac{25600}{801} \right)} = \frac{1281601}{20025}$$$ lebih besar daripada $$$64$$$, dapat dinyatakan bahwa $$$64$$$ adalah nilai minimum.
Jawaban
Maksimum
Tidak ada maksimum.
Minimum
$$$64$$$A pada $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$A.