Akar-akar rasional yang mungkin dan yang sebenarnya dari $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 31 x - 30$$$

Tentukan akar-akar rasional dari $$$x^{3} - 31 x - 30 = 0$$$.

Karena semua koefisien merupakan bilangan bulat, kita dapat menerapkan teorema akar rasional.

Koefisien terakhir (koefisien suku konstanta) adalah $$$-30$$$.

Temukan factors (dengan tanda plus dan tanda minus): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.

Berikut adalah nilai yang mungkin untuk $$$p$$$.

Koefisien utama (koefisien dari suku dengan derajat tertinggi) adalah $$$1$$$.

Temukan faktor-faktornya (dengan tanda plus dan tanda minus): $$$\pm 1$$$.

Berikut adalah nilai-nilai yang mungkin untuk $$$q$$$.

Tentukan semua nilai yang mungkin dari $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$, $$$\pm \frac{30}{1}$$$.

Sederhanakan dan hapus duplikat (jika ada).

Berikut adalah akar rasional yang mungkin: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.

Selanjutnya, periksa akar-akar yang mungkin: jika $$$a$$$ adalah akar dari polinom $$$P{\left(x \right)}$$$, sisa dari pembagian $$$P{\left(x \right)}$$$ oleh $$$x - a$$$ harus sama dengan $$$0$$$ (menurut teorema sisa, ini berarti bahwa $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Periksa $$$1$$$: bagi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ dengan $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = -60$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$-60$$$.

• Periksa $$$-1$$$: bagi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ dengan $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$0$$$.

  Dengan demikian, $$$-1$$$ adalah akar.

• Periksa $$$2$$$: bagi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ dengan $$$x - 2$$$.

  $$$P{\left(2 \right)} = -84$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$-84$$$.

• Periksa $$$-2$$$: bagi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ dengan $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.

  $$$P{\left(-2 \right)} = 24$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$24$$$.

• Periksa $$$3$$$: bagi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ dengan $$$x - 3$$$.

  $$$P{\left(3 \right)} = -96$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$-96$$$.

• Periksa $$$-3$$$: bagi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ dengan $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.

  $$$P{\left(-3 \right)} = 36$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$36$$$.

• Periksa $$$5$$$: bagi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ dengan $$$x - 5$$$.

  $$$P{\left(5 \right)} = -60$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$-60$$$.

• Periksa $$$-5$$$: bagi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ dengan $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.

  $$$P{\left(-5 \right)} = 0$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$0$$$.

  Dengan demikian, $$$-5$$$ adalah akar.

• Periksa $$$6$$$: bagi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ dengan $$$x - 6$$$.

  $$$P{\left(6 \right)} = 0$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$0$$$.

  Dengan demikian, $$$6$$$ adalah akar.

• Periksa $$$-6$$$: bagi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ dengan $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.

  $$$P{\left(-6 \right)} = -60$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$-60$$$.

• Periksa $$$10$$$: bagi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ dengan $$$x - 10$$$.

  $$$P{\left(10 \right)} = 660$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$660$$$.

• Periksa $$$-10$$$: bagi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ dengan $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$.

  $$$P{\left(-10 \right)} = -720$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$-720$$$.

• Periksa $$$15$$$: bagi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ dengan $$$x - 15$$$.

  $$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$2880$$$.

• Periksa $$$-15$$$: bagi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ dengan $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$.

  $$$P{\left(-15 \right)} = -2940$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$-2940$$$.

• Periksa $$$30$$$: bagi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ dengan $$$x - 30$$$.

  $$$P{\left(30 \right)} = 26040$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$26040$$$.

• Periksa $$$-30$$$: bagi $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ dengan $$$x - \left(-30\right) = x + 30$$$.

  $$$P{\left(-30 \right)} = -26100$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$-26100$$$.

Akar-akar rasional yang mungkin: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$A.

Akar rasional sebenarnya: $$$-1$$$, $$$-5$$$, $$$6$$$A.