Akar-akar rasional yang mungkin dan yang sebenarnya dari $$$f{\left(x \right)} = 4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$

Tentukan akar-akar rasional dari $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9 = 0$$$.

Karena semua koefisien merupakan bilangan bulat, kita dapat menerapkan teorema akar rasional.

Koefisien terakhir (koefisien suku konstanta) adalah $$$9$$$.

Temukan factors (dengan tanda plus dan tanda minus): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.

Berikut adalah nilai yang mungkin untuk $$$p$$$.

Koefisien utama (koefisien dari suku dengan derajat tertinggi) adalah $$$4$$$.

Temukan faktor-faktornya (dengan tanda plus dan tanda minus): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$.

Berikut adalah nilai-nilai yang mungkin untuk $$$q$$$.

Tentukan semua nilai yang mungkin dari $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

Sederhanakan dan hapus duplikat (jika ada).

Berikut adalah akar rasional yang mungkin: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

Selanjutnya, periksa akar-akar yang mungkin: jika $$$a$$$ adalah akar dari polinom $$$P{\left(x \right)}$$$, sisa dari pembagian $$$P{\left(x \right)}$$$ oleh $$$x - a$$$ harus sama dengan $$$0$$$ (menurut teorema sisa, ini berarti bahwa $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Periksa $$$1$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = -24$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$-24$$$.

• Periksa $$$-1$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = -24$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$-24$$$.

• Periksa $$$\frac{1}{2}$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$0$$$.

  Dengan demikian, $$$\frac{1}{2}$$$ adalah akar.

• Periksa $$$- \frac{1}{2}$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = 0$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$0$$$.

  Dengan demikian, $$$- \frac{1}{2}$$$ adalah akar.

• Periksa $$$\frac{1}{4}$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - \frac{1}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$\frac{429}{64}$$$.

• Periksa $$$- \frac{1}{4}$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - \left(- \frac{1}{4}\right) = x + \frac{1}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$\frac{429}{64}$$$.

• Periksa $$$3$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - 3$$$.

  $$$P{\left(3 \right)} = 0$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$0$$$.

  Dengan demikian, $$$3$$$ adalah akar.

• Periksa $$$-3$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.

  $$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$0$$$.

  Dengan demikian, $$$-3$$$ adalah akar.

• Periksa $$$\frac{3}{2}$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - \frac{3}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = -54$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$-54$$$.

• Periksa $$$- \frac{3}{2}$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = -54$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$-54$$$.

• Periksa $$$\frac{3}{4}$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - \frac{3}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$- \frac{675}{64}$$$.

• Periksa $$$- \frac{3}{4}$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - \left(- \frac{3}{4}\right) = x + \frac{3}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$- \frac{675}{64}$$$.

• Periksa $$$9$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - 9$$$.

  $$$P{\left(9 \right)} = 23256$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$23256$$$.

• Periksa $$$-9$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.

  $$$P{\left(-9 \right)} = 23256$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$23256$$$.

• Periksa $$$\frac{9}{2}$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - \frac{9}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{9}{2} \right)} = 900$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$900$$$.

• Periksa $$$- \frac{9}{2}$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - \left(- \frac{9}{2}\right) = x + \frac{9}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{9}{2} \right)} = 900$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$900$$$.

• Periksa $$$\frac{9}{4}$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - \frac{9}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$- \frac{4851}{64}$$$.

• Periksa $$$- \frac{9}{4}$$$: bagi $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ dengan $$$x - \left(- \frac{9}{4}\right) = x + \frac{9}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; dengan demikian, sisanya adalah $$$- \frac{4851}{64}$$$.

Akar-akar rasional yang mungkin: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$A.

Akar rasional sebenarnya: $$$\frac{1}{2}$$$, $$$- \frac{1}{2}$$$, $$$3$$$, $$$-3$$$A.