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Valeurs propres et vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$

La calculatrice trouvera les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice carrée $$$3$$$x$$$3$$$ $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$, en montrant les étapes.

Calculatrice associée: Calculatrice de polynôme caractéristique

A

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Votre saisie

Trouvez les valeurs propres et les vecteurs propres de $$$\left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$.

Solution

Commencez par former une nouvelle matrice en soustrayant $$$\lambda$$$ aux éléments de la diagonale de la matrice donnée : $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right]$$$.

Le déterminant de la matrice obtenue est $$$- \lambda \left(\lambda - 8\right) \left(\lambda - 2\right)$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de déterminant).

Résoudre l’équation $$$- \lambda \left(\lambda - 8\right) \left(\lambda - 2\right) = 0$$$.

Les racines sont $$$\lambda_{1} = 8$$$, $$$\lambda_{2} = 2$$$, $$$\lambda_{3} = 0$$$ (pour les étapes, voir solveur d'équations).

Ce sont les valeurs propres.

Ensuite, trouvez les vecteurs propres.

  • $$$\lambda = 8$$$

    $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-6 & 2 & 2\\2 & -2 & 2\\2 & 2 & -6\end{array}\right]$$$

    L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

    C'est le vecteur propre.

  • $$$\lambda = 2$$$

    $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0 & 2 & 2\\2 & 4 & 2\\2 & 2 & 0\end{array}\right]$$$

    L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

    C'est le vecteur propre.

  • $$$\lambda = 0$$$

    $$$\left[\begin{array}{ccc}2 - \lambda & 2 & 2\\2 & 6 - \lambda & 2\\2 & 2 & 2 - \lambda\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}2 & 2 & 2\\2 & 6 & 2\\2 & 2 & 2\end{array}\right]$$$

    L’espace nul de cette matrice est $$$\left\{\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]\right\}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de l’espace nul).

    C'est le vecteur propre.

Réponse

Valeur propre : $$$8$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}1\\2\\1\end{array}\right]$$$A.

Valeur propre : $$$2$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}1\\-1\\1\end{array}\right]$$$A.

Valeur propre : $$$0$$$A, multiplicité : $$$1$$$A, vecteurs propres : $$$\left[\begin{array}{c}-1\\0\\1\end{array}\right]$$$A.