Produit vectoriel de $$$\left\langle 1, 2 x, 0\right\rangle$$$ et $$$\left\langle 0, 2, 0\right\rangle$$$

Calculer $$$\left\langle 1, 2 x, 0\right\rangle\times \left\langle 0, 2, 0\right\rangle$$$.

Pour calculer le produit vectoriel, on forme un déterminant formel dont la première ligne est constituée de vecteurs unitaires, la deuxième ligne est notre premier vecteur, et la troisième ligne est notre second vecteur : $$$\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\1 & 2 x & 0\\0 & 2 & 0\end{array}\right|$$$

Maintenant, il suffit de développer selon la première ligne (pour les étapes de calcul d’un déterminant, voir calculatrice de déterminant) :

$$$\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}}\\1 & 2 x & 0\\0 & 2 & 0\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cc}2 x & 0\\2 & 0\end{array}\right| \mathbf{\vec{i}} - \left|\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 0\end{array}\right| \mathbf{\vec{j}} + \left|\begin{array}{cc}1 & 2 x\\0 & 2\end{array}\right| \mathbf{\vec{k}} = \left(\left(2 x\right)\cdot \left(0\right) - \left(0\right)\cdot \left(2\right)\right) \mathbf{\vec{i}} - \left(\left(1\right)\cdot \left(0\right) - \left(0\right)\cdot \left(0\right)\right) \mathbf{\vec{j}} + \left(\left(1\right)\cdot \left(2\right) - \left(2 x\right)\cdot \left(0\right)\right) \mathbf{\vec{k}} = 0 + 0 + 2 \mathbf{\vec{k}}$$$

Ainsi, $$$\left\langle 1, 2 x, 0\right\rangle\times \left\langle 0, 2, 0\right\rangle = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle.$$$

$$$\left\langle 1, 2 x, 0\right\rangle\times \left\langle 0, 2, 0\right\rangle = \left\langle 0, 0, 2\right\rangle$$$A