Simplifier $$$\overline{\overline{A \cdot B} + \left(\overline{D} \cdot A\right)}$$$

Appliquez le théorème de De Morgan $$$\overline{x + y} = \overline{x} \cdot \overline{y}$$$ avec $$$x = \overline{A \cdot B}$$$ et $$$y = \overline{D} \cdot A$$$ :

$${\color{red}\left(\overline{\overline{A \cdot B} + \left(\overline{D} \cdot A\right)}\right)} = {\color{red}\left(\overline{\overline{A \cdot B}} \cdot \overline{\overline{D} \cdot A}\right)}$$

Appliquez la loi de la double négation (involution) $$$\overline{\overline{x}} = x$$$ avec $$$x = A \cdot B$$$:

$${\color{red}\left(\overline{\overline{A \cdot B}}\right)} \cdot \overline{\overline{D} \cdot A} = {\color{red}\left(A \cdot B\right)} \cdot \overline{\overline{D} \cdot A}$$

Appliquez le théorème de De Morgan $$$\overline{x \cdot y} = \overline{x} + \overline{y}$$$ avec $$$x = \overline{D}$$$ et $$$y = A$$$ :

$$A \cdot B \cdot {\color{red}\left(\overline{\overline{D} \cdot A}\right)} = A \cdot B \cdot {\color{red}\left(\overline{\overline{D}} + \overline{A}\right)}$$

Appliquez la loi de la double négation (involution) $$$\overline{\overline{x}} = x$$$ avec $$$x = D$$$:

$$A \cdot B \cdot \left({\color{red}\left(\overline{\overline{D}}\right)} + \overline{A}\right) = A \cdot B \cdot \left({\color{red}\left(D\right)} + \overline{A}\right)$$

Appliquez la propriété commutative :

$${\color{red}\left(A \cdot B \cdot \left(D + \overline{A}\right)\right)} = {\color{red}\left(A \cdot \left(D + \overline{A}\right) \cdot B\right)}$$

Appliquez la propriété commutative :

$$A \cdot {\color{red}\left(D + \overline{A}\right)} \cdot B = A \cdot {\color{red}\left(\overline{A} + D\right)} \cdot B$$

Appliquez la loi de redondance $$$x \cdot \left(\overline{x} + y\right) = x \cdot y$$$ avec $$$x = A$$$ et $$$y = D$$$ :

$${\color{red}\left(A \cdot \left(\overline{A} + D\right)\right)} \cdot B = {\color{red}\left(A \cdot D\right)} \cdot B$$