Simplifier $$$\left(\overline{A} \cdot \overline{B}\right) + \left(\overline{A} \cdot B \cdot \overline{C}\right) + \overline{A + \overline{C}}$$$

Appliquez le théorème de De Morgan $$$\overline{x + y} = \overline{x} \cdot \overline{y}$$$ avec $$$x = A$$$ et $$$y = \overline{C}$$$ :

$$\left(\overline{A} \cdot \overline{B}\right) + \left(\overline{A} \cdot B \cdot \overline{C}\right) + {\color{red}\left(\overline{A + \overline{C}}\right)} = \left(\overline{A} \cdot \overline{B}\right) + \left(\overline{A} \cdot B \cdot \overline{C}\right) + {\color{red}\left(\overline{A} \cdot \overline{\overline{C}}\right)}$$

Appliquez la loi de la double négation (involution) $$$\overline{\overline{x}} = x$$$ avec $$$x = C$$$:

$$\left(\overline{A} \cdot \overline{B}\right) + \left(\overline{A} \cdot B \cdot \overline{C}\right) + \left(\overline{A} \cdot {\color{red}\left(\overline{\overline{C}}\right)}\right) = \left(\overline{A} \cdot \overline{B}\right) + \left(\overline{A} \cdot B \cdot \overline{C}\right) + \left(\overline{A} \cdot {\color{red}\left(C\right)}\right)$$

Réécrire :

$${\color{red}\left(\left(\overline{A} \cdot \overline{B}\right) + \left(\overline{A} \cdot B \cdot \overline{C}\right)\right)} + \left(\overline{A} \cdot C\right) = {\color{red}\left(\left(\left(B \cdot \overline{C}\right) + \overline{B}\right) \cdot \overline{A}\right)} + \left(\overline{A} \cdot C\right)$$

Appliquez la propriété commutative :

$$\left({\color{red}\left(\left(B \cdot \overline{C}\right) + \overline{B}\right)} \cdot \overline{A}\right) + \left(\overline{A} \cdot C\right) = \left({\color{red}\left(\overline{B} + \left(B \cdot \overline{C}\right)\right)} \cdot \overline{A}\right) + \left(\overline{A} \cdot C\right)$$

Appliquez la loi de redondance $$$x + \left(\overline{x} \cdot y\right) = x + y$$$ avec $$$x = \overline{B}$$$ et $$$y = \overline{C}$$$ :

$$\left({\color{red}\left(\overline{B} + \left(B \cdot \overline{C}\right)\right)} \cdot \overline{A}\right) + \left(\overline{A} \cdot C\right) = \left({\color{red}\left(\overline{B} + \overline{C}\right)} \cdot \overline{A}\right) + \left(\overline{A} \cdot C\right)$$

Réécrire :

$${\color{red}\left(\left(\left(\overline{B} + \overline{C}\right) \cdot \overline{A}\right) + \left(\overline{A} \cdot C\right)\right)} = {\color{red}\left(\left(C + \overline{B} + \overline{C}\right) \cdot \overline{A}\right)}$$

Appliquez la propriété commutative :

$${\color{red}\left(C + \overline{B} + \overline{C}\right)} \cdot \overline{A} = {\color{red}\left(C + \overline{C} + \overline{B}\right)} \cdot \overline{A}$$

Appliquez la formule du complément $$$x + \overline{x} = 1$$$ avec $$$x = C$$$ :

$$\left({\color{red}\left(C + \overline{C}\right)} + \overline{B}\right) \cdot \overline{A} = \left({\color{red}\left(1\right)} + \overline{B}\right) \cdot \overline{A}$$

Appliquez la propriété commutative :

$${\color{red}\left(1 + \overline{B}\right)} \cdot \overline{A} = {\color{red}\left(\overline{B} + 1\right)} \cdot \overline{A}$$

Appliquez la loi dominante (nulle, d’annulation) $$$x + 1 = 1$$$ avec $$$x = \overline{B}$$$ :

$${\color{red}\left(\overline{B} + 1\right)} \cdot \overline{A} = {\color{red}\left(1\right)} \cdot \overline{A}$$

Appliquez la propriété commutative :

$${\color{red}\left(1 \cdot \overline{A}\right)} = {\color{red}\left(\overline{A} \cdot 1\right)}$$

Appliquez la loi d’identité $$$x \cdot 1 = x$$$ avec $$$x = \overline{A}$$$ :

$${\color{red}\left(\overline{A} \cdot 1\right)} = {\color{red}\left(\overline{A}\right)}$$