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Calculatrice d’algèbre de Boole

Simplifier des expressions booléennes étape par étape

La calculatrice tentera de simplifier/minimiser l'expression booléenne donnée, en détaillant les étapes lorsque c'est possible. Applique la loi commutative, la loi distributive, la loi de domination (nulle, d'annulation), la loi d'identité, la loi de négation, la loi de la double négation (involution), la loi d'idempotence, la loi du complément, la loi d'absorption, la loi de redondance, le théorème de De Morgan. Prend en charge tous les opérateurs logiques de base : négation (complément), et (conjonction), ou (disjonction), nand (barre de Sheffer), nor (flèche de Peirce), xor (disjonction exclusive), implication, réciproque de l'implication, non-implication (abjonction), réciproque de la non-implication, xnor (nor exclusif, équivalence, biconditionnelle), tautologie (T) et contradiction (F).

Elle déterminera également la forme normale disjonctive (DNF), la forme normale conjonctive (CNF) et la forme normale négative (NNF).

Calculatrice associée: Calculatrice de table de vérité

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Votre saisie

Simplifiez l'expression booléenne $$$\overline{\left(\overline{A} + B\right) \cdot \left(\overline{B} + C\right)}$$$.

Solution

Appliquez le théorème de De Morgan $$$\overline{x \cdot y} = \overline{x} + \overline{y}$$$ avec $$$x = \overline{A} + B$$$ et $$$y = \overline{B} + C$$$ :

$${\color{red}\left(\overline{\left(\overline{A} + B\right) \cdot \left(\overline{B} + C\right)}\right)} = {\color{red}\left(\overline{\overline{A} + B} + \overline{\overline{B} + C}\right)}$$

Appliquez le théorème de De Morgan $$$\overline{x + y} = \overline{x} \cdot \overline{y}$$$ avec $$$x = \overline{A}$$$ et $$$y = B$$$ :

$${\color{red}\left(\overline{\overline{A} + B}\right)} + \overline{\overline{B} + C} = {\color{red}\left(\overline{\overline{A}} \cdot \overline{B}\right)} + \overline{\overline{B} + C}$$

Appliquez la loi de la double négation (involution) $$$\overline{\overline{x}} = x$$$ avec $$$x = A$$$:

$$\left({\color{red}\left(\overline{\overline{A}}\right)} \cdot \overline{B}\right) + \overline{\overline{B} + C} = \left({\color{red}\left(A\right)} \cdot \overline{B}\right) + \overline{\overline{B} + C}$$

Appliquez le théorème de De Morgan $$$\overline{x + y} = \overline{x} \cdot \overline{y}$$$ avec $$$x = \overline{B}$$$ et $$$y = C$$$ :

$$\left(A \cdot \overline{B}\right) + {\color{red}\left(\overline{\overline{B} + C}\right)} = \left(A \cdot \overline{B}\right) + {\color{red}\left(\overline{\overline{B}} \cdot \overline{C}\right)}$$

Appliquez la loi de la double négation (involution) $$$\overline{\overline{x}} = x$$$ avec $$$x = B$$$:

$$\left(A \cdot \overline{B}\right) + \left({\color{red}\left(\overline{\overline{B}}\right)} \cdot \overline{C}\right) = \left(A \cdot \overline{B}\right) + \left({\color{red}\left(B\right)} \cdot \overline{C}\right)$$

Réponse

$$$\overline{\left(\overline{A} + B\right) \cdot \left(\overline{B} + C\right)} = \left(A \cdot \overline{B}\right) + \left(B \cdot \overline{C}\right)$$$