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Calculatrice de plan tangent

Trouvez les plans tangents étape par étape

La calculatrice essaiera de trouver le plan tangent à la courbe explicite et à la courbe implicite au point donné, avec les étapes affichées.

$$$($$$
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$$$)$$$

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Votre saisie

Calculez le plan tangent à $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$$$ au point $$$\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)$$$.

Solution

La fonction peut être représentée sous la forme $$$F{\left(x,y,z \right)} = 0$$$, où $$$F{\left(x,y,z \right)} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14$$$.

Calculez les dérivées partielles.

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 x$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 y$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 z$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

Évaluez les dérivées au point donné.

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 x\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 2$$$

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 y\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 6$$$

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 z\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 4$$$

L’équation du plan tangent est $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(x - x_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(y - y_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(z - z_{0}\right) = 0.$$$

Dans notre cas, $$$2 \left(x - 1\right) + 6 \left(y - 3\right) + 4 \left(z - 2\right) = 0$$$.

Cela peut être réécrit sous la forme $$$2 x + 6 y + 4 z = 28$$$.

Ou, plus simplement : $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7$$$.

Réponse

L’équation du plan tangent est $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7 = - 0.5 x - 1.5 y + 7$$$A.