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Calculatrice de plan tangent

Trouvez les plans tangents étape par étape

La calculatrice essaiera de trouver le plan tangent à la courbe explicite et à la courbe implicite au point donné, avec les étapes affichées.

$$$($$$
,
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$$$)$$$

Si le calculateur n'a pas pu calculer quelque chose, si vous avez identifié une erreur, ou si vous avez une suggestion ou un commentaire, veuillez nous contacter.

Votre saisie

Calculez le plan tangent à $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$$$ au point $$$\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)$$$.

Solution

La fonction peut être représentée sous la forme $$$F{\left(x,y,z \right)} = 0$$$, où $$$F{\left(x,y,z \right)} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14$$$.

Calculez les dérivées partielles.

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 x$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 y$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 z$$$ (pour les étapes, voir calculateur de dérivée partielle.)

Évaluez les dérivées au point donné.

$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 x\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 2$$$

$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 y\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 6$$$

$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 z\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 4$$$

L’équation du plan tangent est $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(x - x_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(y - y_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(z - z_{0}\right) = 0.$$$

Dans notre cas, $$$2 \left(x - 1\right) + 6 \left(y - 3\right) + 4 \left(z - 2\right) = 0$$$.

Cela peut être réécrit sous la forme $$$2 x + 6 y + 4 z = 28$$$.

Ou, plus simplement : $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7$$$.

Réponse

L’équation du plan tangent est $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7 = - 0.5 x - 1.5 y + 7$$$A.