Matrice jacobienne et son déterminant de $$$\left\{x = 2 u \cos{\left(5 v \right)}, y = 2 \sin{\left(5 v \right)}\right\}$$$
Votre saisie
Calculez la matrice jacobienne de $$$\left\{x = 2 u \cos{\left(5 v \right)}, y = 2 \sin{\left(5 v \right)}\right\}$$$.
Solution
La matrice jacobienne est définie comme suit : $$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right].$$$
Dans notre cas, $$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial u} \left(2 u \cos{\left(5 v \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial v} \left(2 u \cos{\left(5 v \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial u} \left(2 \sin{\left(5 v \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial v} \left(2 \sin{\left(5 v \right)}\right)\end{array}\right].$$$
Trouvez les dérivées (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées) : $$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}2 \cos{\left(5 v \right)} & - 10 u \sin{\left(5 v \right)}\\0 & 10 \cos{\left(5 v \right)}\end{array}\right].$$$
Le déterminant jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne : $$$\left|\begin{array}{cc}2 \cos{\left(5 v \right)} & - 10 u \sin{\left(5 v \right)}\\0 & 10 \cos{\left(5 v \right)}\end{array}\right| = 20 \cos^{2}{\left(5 v \right)}$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de déterminant.)
Réponse
La matrice jacobienne est $$$\left[\begin{array}{cc}2 \cos{\left(5 v \right)} & - 10 u \sin{\left(5 v \right)}\\0 & 10 \cos{\left(5 v \right)}\end{array}\right]$$$A.
Le déterminant jacobien est $$$20 \cos^{2}{\left(5 v \right)}$$$A.