Matrice jacobienne et son déterminant de $$$\left\{u = x, v = y, w = x y\right\}$$$
Votre saisie
Calculez la matrice jacobienne de $$$\left\{u = x, v = y, w = x y\right\}$$$.
Solution
La matrice jacobienne est définie comme suit : $$$J{\left(u,v,w \right)}\left(x, y\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y}\\\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\\\frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y}\end{array}\right].$$$
Dans notre cas, $$$J{\left(u,v,w \right)}\left(x, y\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial x} \left(x\right) & \frac{\partial x}{\partial y}\\\frac{\partial y}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \left(y\right)\\\frac{\partial}{\partial x} \left(x y\right) & \frac{\partial}{\partial y} \left(x y\right)\end{array}\right].$$$
Trouvez les dérivées (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées) : $$$J{\left(u,v,w \right)}\left(x, y\right) = \left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\\y & x\end{array}\right]$$$.
Puisque la matrice n'est pas carrée, le déterminant jacobien n'existe pas.
Réponse
La matrice jacobienne est $$$\left[\begin{array}{cc}1 & 0\\0 & 1\\y & x\end{array}\right]$$$A.
Le déterminant jacobien n’existe pas.