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Calculatrice du jacobien

Calculer la matrice jacobienne étape par étape

La calculatrice calculera la matrice jacobienne de l'ensemble de fonctions et le déterminant jacobien (si possible), avec les étapes affichées.

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Laissez vide pour la détection automatique ou spécifiez des variables comme x,y (séparées par des virgules).

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Votre saisie

Calculez la matrice jacobienne de $$$\left\{x = r \cos{\left(\theta \right)}, y = r \sin{\left(\theta \right)}\right\}$$$.

Solution

La matrice jacobienne est définie comme suit : $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \theta}\\\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \theta}\end{array}\right].$$$

Dans notre cas, $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial r} \left(r \cos{\left(\theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(r \cos{\left(\theta \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial r} \left(r \sin{\left(\theta \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial \theta} \left(r \sin{\left(\theta \right)}\right)\end{array}\right].$$$

Trouvez les dérivées (pour les étapes, voir calculatrice de dérivées) : $$$J{\left(x,y \right)}\left(r, \theta\right) = \left[\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right].$$$

Le déterminant jacobien est le déterminant de la matrice jacobienne : $$$\left|\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right| = r$$$ (pour les étapes, voir calculatrice de déterminant.)

Réponse

La matrice jacobienne est $$$\left[\begin{array}{cc}\cos{\left(\theta \right)} & - r \sin{\left(\theta \right)}\\\sin{\left(\theta \right)} & r \cos{\left(\theta \right)}\end{array}\right]$$$A.

Le déterminant jacobien est $$$r$$$A.