Intégrale de $$$x^{2} y^{2}$$$ par rapport à $$$y$$$

Déterminez $$$\int x^{2} y^{2}\, dy$$$.

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(y \right)}\, dy = c \int f{\left(y \right)}\, dy$$$ avec $$$c=x^{2}$$$ et $$$f{\left(y \right)} = y^{2}$$$ :

$${\color{red}{\int{x^{2} y^{2} d y}}} = {\color{red}{x^{2} \int{y^{2} d y}}}$$

Appliquer la règle de puissance $$$\int y^{n}\, dy = \frac{y^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$ avec $$$n=2$$$ :

$$x^{2} {\color{red}{\int{y^{2} d y}}}=x^{2} {\color{red}{\frac{y^{1 + 2}}{1 + 2}}}=x^{2} {\color{red}{\left(\frac{y^{3}}{3}\right)}}$$

Par conséquent,

$$\int{x^{2} y^{2} d y} = \frac{x^{2} y^{3}}{3}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{x^{2} y^{2} d y} = \frac{x^{2} y^{3}}{3}+C$$

$$$\int x^{2} y^{2}\, dy = \frac{x^{2} y^{3}}{3} + C$$$A