Intégrale de $$$\frac{u}{u^{2} + 4}$$$

Déterminez $$$\int \frac{u}{u^{2} + 4}\, du$$$.

Soit $$$v=u^{2} + 4$$$.

Alors $$$dv=\left(u^{2} + 4\right)^{\prime }du = 2 u du$$$ (les étapes peuvent être vues »), et nous obtenons $$$u du = \frac{dv}{2}$$$.

L’intégrale devient

$${\color{red}{\int{\frac{u}{u^{2} + 4} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}}$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$ avec $$$c=\frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$ :

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2}\right)}}$$

L’intégrale de $$$\frac{1}{v}$$$ est $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$ :

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2}$$

Rappelons que $$$v=u^{2} + 4$$$ :

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u^{2} + 4\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

Par conséquent,

$$\int{\frac{u}{u^{2} + 4} d u} = \frac{\ln{\left(u^{2} + 4 \right)}}{2}$$

Ajouter la constante d'intégration :

$$\int{\frac{u}{u^{2} + 4} d u} = \frac{\ln{\left(u^{2} + 4 \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{u}{u^{2} + 4}\, du = \frac{\ln\left(u^{2} + 4\right)}{2} + C$$$A