Trouvez $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}}\right)$$$

Déterminez $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}}\right)$$$.

Trouvez la dérivée première $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}}\right)$$$

La dérivée d'une somme/différence est la somme/différence des dérivées :

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right) + \frac{d}{dx} \left(\frac{5}{\sqrt{x}}\right)\right)}$$

Appliquez la règle de la puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = \frac{1}{2}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x}\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(\frac{5}{\sqrt{x}}\right) = {\color{red}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}}\right)} + \frac{d}{dx} \left(\frac{5}{\sqrt{x}}\right)$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = 5$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{5}{\sqrt{x}}\right)\right)} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} = {\color{red}\left(5 \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$$

Appliquez la règle de la puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = - \frac{1}{2}$$$:

$$5 {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\right)} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} = 5 {\color{red}\left(- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}\right)} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$$

Simplifier:

$$\frac{1}{2 \sqrt{x}} - \frac{5}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$$

Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}}\right) = \frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}$$$.

Ensuite, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}}\right) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}\right)$$$

Appliquez la règle du facteur constant $$$\frac{d}{dx} \left(c f{\left(x \right)}\right) = c \frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right)$$$ avec $$$c = \frac{1}{2}$$$ et $$$f{\left(x \right)} = \frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}}}$$$:

$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{\frac{d}{dx} \left(\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{2}\right)}$$

Appliquez la règle du quotient $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}}\right) = \frac{\frac{d}{dx} \left(f{\left(x \right)}\right) g{\left(x \right)} - f{\left(x \right)} \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)}{g^{2}{\left(x \right)}}$$$ avec $$$f{\left(x \right)} = x - 5$$$ et $$$g{\left(x \right)} = x^{\frac{3}{2}}$$$ :

$$\frac{{\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\frac{x - 5}{x^{\frac{3}{2}}}\right)\right)}}{2} = \frac{{\color{red}\left(\frac{\frac{d}{dx} \left(x - 5\right) x^{\frac{3}{2}} - \left(x - 5\right) \frac{d}{dx} \left(x^{\frac{3}{2}}\right)}{\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{2}}\right)}}{2}$$

La dérivée d'une somme/différence est la somme/différence des dérivées :

$$\frac{x^{\frac{3}{2}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x - 5\right)\right)} - \left(x - 5\right) \frac{d}{dx} \left(x^{\frac{3}{2}}\right)}{2 x^{3}} = \frac{x^{\frac{3}{2}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right) - \frac{d}{dx} \left(5\right)\right)} - \left(x - 5\right) \frac{d}{dx} \left(x^{\frac{3}{2}}\right)}{2 x^{3}}$$

La dérivée d'une constante est $$$0$$$ :

$$\frac{x^{\frac{3}{2}} \left(- {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(5\right)\right)} + \frac{d}{dx} \left(x\right)\right) - \left(x - 5\right) \frac{d}{dx} \left(x^{\frac{3}{2}}\right)}{2 x^{3}} = \frac{x^{\frac{3}{2}} \left(- {\color{red}\left(0\right)} + \frac{d}{dx} \left(x\right)\right) - \left(x - 5\right) \frac{d}{dx} \left(x^{\frac{3}{2}}\right)}{2 x^{3}}$$

Appliquez la règle de la puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = \frac{3}{2}$$$:

$$\frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{dx} \left(x\right) - \left(x - 5\right) {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{\frac{3}{2}}\right)\right)}}{2 x^{3}} = \frac{x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{dx} \left(x\right) - \left(x - 5\right) {\color{red}\left(\frac{3 \sqrt{x}}{2}\right)}}{2 x^{3}}$$

Appliquez la règle de puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = 1$$$, en d'autres termes, $$$\frac{d}{dx} \left(x\right) = 1$$$:

$$\frac{x^{\frac{3}{2}} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x\right)\right)} - \frac{3 \sqrt{x} \left(x - 5\right)}{2}}{2 x^{3}} = \frac{x^{\frac{3}{2}} {\color{red}\left(1\right)} - \frac{3 \sqrt{x} \left(x - 5\right)}{2}}{2 x^{3}}$$

Simplifier:

$$\frac{x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 \sqrt{x} \left(x - 5\right)}{2}}{2 x^{3}} = \frac{15 - x}{4 x^{\frac{5}{2}}}$$

Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(\frac{x - 5}{2 x^{\frac{3}{2}}}\right) = \frac{15 - x}{4 x^{\frac{5}{2}}}$$$.

Donc, $$$\frac{d^{2}}{dx^{2}} \left(\sqrt{x} + \frac{5}{\sqrt{x}}\right) = \frac{15 - x}{4 x^{\frac{5}{2}}}$$$.