|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Dérivée de $$$\sin{\left(x^{2} \right)}$$$
Calculatrices associées: Calculatrice de dérivation logarithmique, Calculatrice de dérivation implicite pas à pas
Votre saisie
Déterminez $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x^{2} \right)}\right)$$$.
Solution
La fonction $$$\sin{\left(x^{2} \right)}$$$ est la composée $$$f{\left(g{\left(x \right)} \right)}$$$ de deux fonctions $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$ et $$$g{\left(x \right)} = x^{2}$$$.
Appliquez la règle de la chaîne $$$\frac{d}{dx} \left(f{\left(g{\left(x \right)} \right)}\right) = \frac{d}{du} \left(f{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(g{\left(x \right)}\right)$$$:
$${\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x^{2} \right)}\right)\right)} = {\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)}$$La dérivée du sinus est $$$\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right) = \cos{\left(u \right)}$$$ :
$${\color{red}\left(\frac{d}{du} \left(\sin{\left(u \right)}\right)\right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) = {\color{red}\left(\cos{\left(u \right)}\right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)$$Revenir à la variable initiale:
$$\cos{\left({\color{red}\left(u\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right) = \cos{\left({\color{red}\left(x^{2}\right)} \right)} \frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)$$Appliquez la règle de la puissance $$$\frac{d}{dx} \left(x^{n}\right) = n x^{n - 1}$$$ avec $$$n = 2$$$:
$$\cos{\left(x^{2} \right)} {\color{red}\left(\frac{d}{dx} \left(x^{2}\right)\right)} = \cos{\left(x^{2} \right)} {\color{red}\left(2 x\right)}$$Ainsi, $$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x^{2} \right)}\right) = 2 x \cos{\left(x^{2} \right)}$$$.
Réponse
$$$\frac{d}{dx} \left(\sin{\left(x^{2} \right)}\right) = 2 x \cos{\left(x^{2} \right)}$$$A