Funktion $$$\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}$$$ integraali

Määritä $$$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}\, dx$$$.

Olkoon $$$u=\frac{1}{x}$$$.

Tällöin $$$du=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime }dx = - \frac{1}{x^{2}} dx$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja saamme, että $$$\frac{dx}{x^{2}} = - du$$$.

Integraali voidaan kirjoittaa muotoon

$${\color{red}{\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- u e^{u}\right)d u}}}$$

Sovella vakiokertoimen sääntöä $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$ käyttäen $$$c=-1$$$ ja $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$:

$${\color{red}{\int{\left(- u e^{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{u e^{u} d u}\right)}}$$

Integraalin $$$\int{u e^{u} d u}$$$ kohdalla käytä osittaisintegrointia $$$\int \operatorname{a} \operatorname{dv} = \operatorname{a}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{da}$$$.

Olkoon $$$\operatorname{a}=u$$$ ja $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$.

Tällöin $$$\operatorname{da}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (vaiheet ovat nähtävissä ») ja $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$ (vaiheet ovat nähtävissä »).

Näin ollen,

$$- {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}=- {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}=- {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}$$

Eksponenttifunktion integraali on $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$:

$$- u e^{u} + {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - u e^{u} + {\color{red}{e^{u}}}$$

Muista, että $$$u=\frac{1}{x}$$$:

$$e^{{\color{red}{u}}} - {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}} = e^{{\color{red}{\frac{1}{x}}}} - {\color{red}{\frac{1}{x}}} e^{{\color{red}{\frac{1}{x}}}}$$

Näin ollen,

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x} = e^{\frac{1}{x}} - \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x}$$

Sievennä:

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x} = \frac{\left(x - 1\right) e^{\frac{1}{x}}}{x}$$

Lisää integrointivakio:

$$\int{\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}} d x} = \frac{\left(x - 1\right) e^{\frac{1}{x}}}{x}+C$$

$$$\int \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{3}}\, dx = \frac{\left(x - 1\right) e^{\frac{1}{x}}}{x} + C$$$A