Maximizar $$$7 x + 2 y$$$, sujeto a $$$\begin{cases} 3 x + 5 y \geq 20 \\ 3 x + y \leq 16 \\ - 2 x + y \leq 1 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$$$

Maximiza $$$Z = 7 x + 2 y$$$, sujeto a $$$\begin{cases} 3 x + 5 y \geq 20 \\ 3 x + y \leq 16 \\ - 2 x + y \leq 1 \\ x \geq 0 \\ y \geq 0 \end{cases}.$$$

El problema en forma canónica se puede escribir de la siguiente manera:

Agregue variables (holgura o excedente) para convertir todas las desigualdades en igualdades:

Como no tenemos una base, agregue una variable artificial:

Penalizar la variable artificial en la función objetivo:

Escriba el cuadro símplex:

Haga que la fila Z sea consistente con el resto del cuadro.

Reste la fila $$$2$$$ multiplicada por $$$M$$$ de la fila $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} - M R_{2}$$$.

La variable entrante es $$$y$$$, porque tiene el coeficiente más negativo $$$- 5 M - 2$$$ en la fila Z.

La variable saliente es $$$S_{3}$$$, porque tiene la proporción más pequeña.

Agregue la fila $$$4$$$ multiplicada por $$$5 M + 2$$$ a la fila $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} + \left(5 M + 2\right) R_{4}$$$.

Reste la fila $$$4$$$ multiplicada por $$$5$$$ de la fila $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} - 5 R_{4}$$$.

Reste la fila $$$4$$$ de la fila $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} - R_{4}$$$.

La variable entrante es $$$x$$$, porque tiene el coeficiente más negativo $$$- 13 M - 11$$$ en la fila Z.

La variable saliente es $$$Y_{1}$$$, porque tiene la proporción más pequeña.

Divide la fila $$$1$$$ entre $$$13$$$: $$$R_{1} = \frac{R_{1}}{13}$$$.

Agregue la fila $$$2$$$ multiplicada por $$$13 M + 11$$$ a la fila $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} + \left(13 M + 11\right) R_{2}$$$.

Reste la fila $$$2$$$ multiplicada por $$$5$$$ de la fila $$$3$$$: $$$R_{3} = R_{3} - 5 R_{2}$$$.

Agregue la fila $$$2$$$ multiplicada por $$$2$$$ a la fila $$$4$$$: $$$R_{4} = R_{4} + 2 R_{2}$$$.

La variable entrante es $$$S_{3}$$$, porque tiene el coeficiente más negativo $$$- \frac{29}{13}$$$ en la fila Z.

La variable saliente es $$$S_{2}$$$, porque tiene la proporción más pequeña.

Multiplique la fila $$$2$$$ por $$$\frac{13}{12}$$$: $$$R_{2} = \frac{13 R_{2}}{12}$$$.

Agregue la fila $$$3$$$ multiplicada por $$$\frac{29}{13}$$$ a la fila $$$1$$$: $$$R_{1} = R_{1} + \frac{29 R_{3}}{13}$$$.

Agregue la fila $$$3$$$ multiplicada por $$$\frac{5}{13}$$$ a la fila $$$2$$$: $$$R_{2} = R_{2} + \frac{5 R_{3}}{13}$$$.

Reste la fila $$$3$$$ multiplicada por $$$\frac{3}{13}$$$ de la fila $$$4$$$: $$$R_{4} = R_{4} - \frac{3 R_{3}}{13}$$$.

Ninguno de los coeficientes de la fila Z es negativo.

Se alcanza el óptimo.

Se obtiene la siguiente solución: $$$\left(x, y, S_{1}, S_{2}, S_{3}, Y_{1}\right) = \left(5, 1, 0, 0, 10, 0\right)$$$.

$$$Z = 37$$$A se logra en $$$\left(x, y\right) = \left(5, 1\right)$$$A.