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Multiplicadores de Lagrange: encontrar máximos y mínimos de $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$, sujetos a $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$
Calculadora relacionada: Calculadora de puntos críticos, extremos y puntos de silla
Tu entrada
Encuentre los valores máximo y mínimo de $$$f{\left(x,y,z \right)} = x y^{2} z^{3}$$$ sujetos a la restricción $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$.
Solución
¡Atención! Esta calculadora no verifica las condiciones para aplicar el método de multiplicadores de Lagrange. Úsela bajo su propia responsabilidad: la respuesta puede ser incorrecta.
Reescribe la restricción $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 6$$$ como $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0$$$.
Forme el Lagrangiano: $$$L{\left(x,y,z,\lambda \right)} = x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)$$$.
Halle todas las derivadas parciales de primer orden:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 \lambda x + y^{2} z^{3}$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right)$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right)$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(x y^{2} z^{3} + \lambda \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6\right)\right) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
A continuación, resuelve el sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, o $$$\begin{cases} 2 \lambda x + y^{2} z^{3} = 0 \\ 2 y \left(\lambda + x z^{3}\right) = 0 \\ z \left(2 \lambda + 3 x y^{2} z\right) = 0 \\ x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 = 0 \end{cases}.$$$
El sistema tiene las siguientes soluciones reales: $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(\sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - y^{2}}, y, 0\right)$$$, $$$\left(x, y, z\right) = \left(- \sqrt{6 - z^{2}}, 0, z\right)$$$.
$$$f{\left(\sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$
$$$f{\left(\sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$
$$$f{\left(- \sqrt{6 - y^{2}},y,0 \right)} = 0$$$
$$$f{\left(- \sqrt{6 - z^{2}},0,z \right)} = 0$$$
Como solo hemos encontrado un valor, aún tendrás que comprobar si es el máximo o el mínimo. Para ello, toma otro punto que satisfaga la(s) restricción(es) y calcula el valor de la función en él. Si el valor en este nuevo punto es menor que el valor en el punto original, entonces el punto original es el máximo. Por el contrario, si el valor en el nuevo punto es mayor, entonces el punto original es el mínimo.