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Multiplicadores de Lagrange: encontrar máximos y mínimos de $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$, sujetos a $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$
Calculadora relacionada: Calculadora de puntos críticos, extremos y puntos de silla
Tu entrada
Encuentre los valores máximo y mínimo de $$$f{\left(x,y \right)} = 81 x^{2} + y^{2}$$$ sujetos a la restricción $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$.
Solución
¡Atención! Esta calculadora no verifica las condiciones para aplicar el método de multiplicadores de Lagrange. Úsela bajo su propia responsabilidad: la respuesta puede ser incorrecta.
Reescribe la restricción $$$4 x^{2} + y^{2} = 9$$$ como $$$4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0$$$.
Forme el Lagrangiano: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)$$$.
Halle todas las derivadas parciales de primer orden:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 x \left(4 \lambda + 81\right)$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 2 y \left(\lambda + 1\right)$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(81 x^{2} + y^{2}\right) + \lambda \left(4 x^{2} + y^{2} - 9\right)\right) = 4 x^{2} + y^{2} - 9$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
A continuación, resuelve el sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, o $$$\begin{cases} 2 x \left(4 \lambda + 81\right) = 0 \\ 2 y \left(\lambda + 1\right) = 0 \\ 4 x^{2} + y^{2} - 9 = 0 \end{cases}.$$$
El sistema tiene las siguientes soluciones reales: $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right)$$$.
$$$f{\left(- \frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$
$$$f{\left(0,-3 \right)} = 9$$$
$$$f{\left(0,3 \right)} = 9$$$
$$$f{\left(\frac{3}{2},0 \right)} = \frac{729}{4}$$$
Por lo tanto, el valor mínimo es $$$9$$$ y el valor máximo es $$$\frac{729}{4}$$$.
Respuesta
Máximo
$$$\frac{729}{4} = 182.25$$$A en $$$\left(x, y\right) = \left(- \frac{3}{2}, 0\right) = \left(-1.5, 0\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{3}{2}, 0\right) = \left(1.5, 0\right)$$$A.
Mínimo
$$$9$$$A en $$$\left(x, y\right) = \left(0, -3\right)$$$, $$$\left(x, y\right) = \left(0, 3\right)$$$A.