|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Multiplicadores de Lagrange: encontrar máximos y mínimos de $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$, sujetos a $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$
Calculadora relacionada: Calculadora de puntos críticos, extremos y puntos de silla
Tu entrada
Encuentre los valores máximo y mínimo de $$$f{\left(x,y \right)} = 4 x + y$$$ sujetos a la restricción $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$.
Solución
¡Atención! Esta calculadora no verifica las condiciones para aplicar el método de multiplicadores de Lagrange. Úsela bajo su propia responsabilidad: la respuesta puede ser incorrecta.
Reescribe la restricción $$$20 = \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4}$$$ como $$$- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0$$$.
Forme el Lagrangiano: $$$L{\left(x,y,\lambda \right)} = \left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)$$$.
Halle todas las derivadas parciales de primer orden:
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
$$$\frac{\partial}{\partial \lambda} \left(\left(4 x + y\right) + \lambda \left(- \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20\right)\right) = - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20$$$ (para ver los pasos, consulte calculadora de derivadas parciales).
A continuación, resuelve el sistema $$$\begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0 \end{cases}$$$, o $$$\begin{cases} - \frac{5 \lambda \sqrt{y}}{8 \sqrt{x}} + 4 = 0 \\ - \frac{5 \lambda \sqrt{x}}{8 \sqrt{y}} + 1 = 0 \\ - \frac{5 \sqrt{x} \sqrt{y}}{4} + 20 = 0 \end{cases}.$$$
El sistema tiene la siguiente solución real: $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$.
$$$f{\left(8,32 \right)} = 64$$$
Tome el punto $$$\left(x, y\right) = \left(\frac{801}{100}, \frac{25600}{801}\right)$$$.
Dado que $$$f{\left(\frac{801}{100},\frac{25600}{801} \right)} = \frac{1281601}{20025}$$$ es mayor que $$$64$$$, se puede afirmar que $$$64$$$ es el mínimo.
Respuesta
Máximo
No hay máximo.
Mínimo
$$$64$$$A en $$$\left(x, y\right) = \left(8, 32\right)$$$A.