Posibles y verdaderas raíces racionales de $$$f{\left(x \right)} = x^{3} - 31 x - 30$$$

Encuentra los ceros racionales de $$$x^{3} - 31 x - 30 = 0$$$.

Como todos los coeficientes son enteros, podemos aplicar el teorema de las raíces racionales.

El coeficiente independiente (el coeficiente del término constante) es $$$-30$$$.

Halla sus factores (con los signos más y menos): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.

Estos son los posibles valores de $$$p$$$.

El coeficiente principal (el coeficiente del término de mayor grado) es $$$1$$$.

Encuentre sus factores (con los signos más y menos): $$$\pm 1$$$.

Estos son los valores posibles de $$$q$$$.

Halla todos los valores posibles de $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{5}{1}$$$, $$$\pm \frac{6}{1}$$$, $$$\pm \frac{10}{1}$$$, $$$\pm \frac{15}{1}$$$, $$$\pm \frac{30}{1}$$$.

Simplifica y elimina los duplicados (si los hay).

Estas son las posibles raíces racionales: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$.

A continuación, comprueba las posibles raíces: si $$$a$$$ es una raíz del polinomio $$$P{\left(x \right)}$$$, el resto de la división de $$$P{\left(x \right)}$$$ entre $$$x - a$$$ debe ser igual a $$$0$$$ (según el teorema del resto, esto significa que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Compruebe $$$1$$$: divida $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ entre $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = -60$$$; por lo tanto, el resto es $$$-60$$$.

• Compruebe $$$-1$$$: divida $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ entre $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = 0$$$; por lo tanto, el resto es $$$0$$$.

  Por lo tanto, $$$-1$$$ es una raíz.

• Compruebe $$$2$$$: divida $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ entre $$$x - 2$$$.

  $$$P{\left(2 \right)} = -84$$$; por lo tanto, el resto es $$$-84$$$.

• Compruebe $$$-2$$$: divida $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ entre $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.

  $$$P{\left(-2 \right)} = 24$$$; por lo tanto, el resto es $$$24$$$.

• Compruebe $$$3$$$: divida $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ entre $$$x - 3$$$.

  $$$P{\left(3 \right)} = -96$$$; por lo tanto, el resto es $$$-96$$$.

• Compruebe $$$-3$$$: divida $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ entre $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.

  $$$P{\left(-3 \right)} = 36$$$; por lo tanto, el resto es $$$36$$$.

• Compruebe $$$5$$$: divida $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ entre $$$x - 5$$$.

  $$$P{\left(5 \right)} = -60$$$; por lo tanto, el resto es $$$-60$$$.

• Compruebe $$$-5$$$: divida $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ entre $$$x - \left(-5\right) = x + 5$$$.

  $$$P{\left(-5 \right)} = 0$$$; por lo tanto, el resto es $$$0$$$.

  Por lo tanto, $$$-5$$$ es una raíz.

• Compruebe $$$6$$$: divida $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ entre $$$x - 6$$$.

  $$$P{\left(6 \right)} = 0$$$; por lo tanto, el resto es $$$0$$$.

  Por lo tanto, $$$6$$$ es una raíz.

• Compruebe $$$-6$$$: divida $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ entre $$$x - \left(-6\right) = x + 6$$$.

  $$$P{\left(-6 \right)} = -60$$$; por lo tanto, el resto es $$$-60$$$.

• Compruebe $$$10$$$: divida $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ entre $$$x - 10$$$.

  $$$P{\left(10 \right)} = 660$$$; por lo tanto, el resto es $$$660$$$.

• Compruebe $$$-10$$$: divida $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ entre $$$x - \left(-10\right) = x + 10$$$.

  $$$P{\left(-10 \right)} = -720$$$; por lo tanto, el resto es $$$-720$$$.

• Compruebe $$$15$$$: divida $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ entre $$$x - 15$$$.

  $$$P{\left(15 \right)} = 2880$$$; por lo tanto, el resto es $$$2880$$$.

• Compruebe $$$-15$$$: divida $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ entre $$$x - \left(-15\right) = x + 15$$$.

  $$$P{\left(-15 \right)} = -2940$$$; por lo tanto, el resto es $$$-2940$$$.

• Compruebe $$$30$$$: divida $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ entre $$$x - 30$$$.

  $$$P{\left(30 \right)} = 26040$$$; por lo tanto, el resto es $$$26040$$$.

• Compruebe $$$-30$$$: divida $$$x^{3} - 31 x - 30$$$ entre $$$x - \left(-30\right) = x + 30$$$.

  $$$P{\left(-30 \right)} = -26100$$$; por lo tanto, el resto es $$$-26100$$$.

Posibles raíces racionales: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 5$$$, $$$\pm 6$$$, $$$\pm 10$$$, $$$\pm 15$$$, $$$\pm 30$$$A.

Raíces racionales verdaderas: $$$-1$$$, $$$-5$$$, $$$6$$$A.