Posibles y verdaderas raíces racionales de $$$f{\left(x \right)} = x^{6} - 64$$$
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Encuentra los ceros racionales de $$$x^{6} - 64 = 0$$$.
Solución
Como todos los coeficientes son enteros, podemos aplicar el teorema de las raíces racionales.
El coeficiente independiente (el coeficiente del término constante) es $$$-64$$$.
Halla sus factores (con los signos más y menos): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.
Estos son los posibles valores de $$$p$$$.
El coeficiente principal (el coeficiente del término de mayor grado) es $$$1$$$.
Encuentre sus factores (con los signos más y menos): $$$\pm 1$$$.
Estos son los valores posibles de $$$q$$$.
Halla todos los valores posibles de $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{2}{1}$$$, $$$\pm \frac{4}{1}$$$, $$$\pm \frac{8}{1}$$$, $$$\pm \frac{16}{1}$$$, $$$\pm \frac{32}{1}$$$, $$$\pm \frac{64}{1}$$$.
Simplifica y elimina los duplicados (si los hay).
Estas son las posibles raíces racionales: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$.
A continuación, comprueba las posibles raíces: si $$$a$$$ es una raíz del polinomio $$$P{\left(x \right)}$$$, el resto de la división de $$$P{\left(x \right)}$$$ entre $$$x - a$$$ debe ser igual a $$$0$$$ (según el teorema del resto, esto significa que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).
Compruebe $$$1$$$: divida $$$x^{6} - 64$$$ entre $$$x - 1$$$.
$$$P{\left(1 \right)} = -63$$$; por lo tanto, el resto es $$$-63$$$.
Compruebe $$$-1$$$: divida $$$x^{6} - 64$$$ entre $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.
$$$P{\left(-1 \right)} = -63$$$; por lo tanto, el resto es $$$-63$$$.
Compruebe $$$2$$$: divida $$$x^{6} - 64$$$ entre $$$x - 2$$$.
$$$P{\left(2 \right)} = 0$$$; por lo tanto, el resto es $$$0$$$.
Por lo tanto, $$$2$$$ es una raíz.
Compruebe $$$-2$$$: divida $$$x^{6} - 64$$$ entre $$$x - \left(-2\right) = x + 2$$$.
$$$P{\left(-2 \right)} = 0$$$; por lo tanto, el resto es $$$0$$$.
Por lo tanto, $$$-2$$$ es una raíz.
Compruebe $$$4$$$: divida $$$x^{6} - 64$$$ entre $$$x - 4$$$.
$$$P{\left(4 \right)} = 4032$$$; por lo tanto, el resto es $$$4032$$$.
Compruebe $$$-4$$$: divida $$$x^{6} - 64$$$ entre $$$x - \left(-4\right) = x + 4$$$.
$$$P{\left(-4 \right)} = 4032$$$; por lo tanto, el resto es $$$4032$$$.
Compruebe $$$8$$$: divida $$$x^{6} - 64$$$ entre $$$x - 8$$$.
$$$P{\left(8 \right)} = 262080$$$; por lo tanto, el resto es $$$262080$$$.
Compruebe $$$-8$$$: divida $$$x^{6} - 64$$$ entre $$$x - \left(-8\right) = x + 8$$$.
$$$P{\left(-8 \right)} = 262080$$$; por lo tanto, el resto es $$$262080$$$.
Compruebe $$$16$$$: divida $$$x^{6} - 64$$$ entre $$$x - 16$$$.
$$$P{\left(16 \right)} = 16777152$$$; por lo tanto, el resto es $$$16777152$$$.
Compruebe $$$-16$$$: divida $$$x^{6} - 64$$$ entre $$$x - \left(-16\right) = x + 16$$$.
$$$P{\left(-16 \right)} = 16777152$$$; por lo tanto, el resto es $$$16777152$$$.
Compruebe $$$32$$$: divida $$$x^{6} - 64$$$ entre $$$x - 32$$$.
$$$P{\left(32 \right)} = 1073741760$$$; por lo tanto, el resto es $$$1073741760$$$.
Compruebe $$$-32$$$: divida $$$x^{6} - 64$$$ entre $$$x - \left(-32\right) = x + 32$$$.
$$$P{\left(-32 \right)} = 1073741760$$$; por lo tanto, el resto es $$$1073741760$$$.
Compruebe $$$64$$$: divida $$$x^{6} - 64$$$ entre $$$x - 64$$$.
$$$P{\left(64 \right)} = 68719476672$$$; por lo tanto, el resto es $$$68719476672$$$.
Compruebe $$$-64$$$: divida $$$x^{6} - 64$$$ entre $$$x - \left(-64\right) = x + 64$$$.
$$$P{\left(-64 \right)} = 68719476672$$$; por lo tanto, el resto es $$$68719476672$$$.
Respuesta
Posibles raíces racionales: $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$, $$$\pm 8$$$, $$$\pm 16$$$, $$$\pm 32$$$, $$$\pm 64$$$A.
Raíces racionales verdaderas: $$$2$$$, $$$-2$$$A.