Posibles y verdaderas raíces racionales de $$$f{\left(x \right)} = 4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$

Encuentra los ceros racionales de $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9 = 0$$$.

Como todos los coeficientes son enteros, podemos aplicar el teorema de las raíces racionales.

El coeficiente independiente (el coeficiente del término constante) es $$$9$$$.

Halla sus factores (con los signos más y menos): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm 9$$$.

Estos son los posibles valores de $$$p$$$.

El coeficiente principal (el coeficiente del término de mayor grado) es $$$4$$$.

Encuentre sus factores (con los signos más y menos): $$$\pm 1$$$, $$$\pm 2$$$, $$$\pm 4$$$.

Estos son los valores posibles de $$$q$$$.

Halla todos los valores posibles de $$$\frac{p}{q}$$$: $$$\pm \frac{1}{1}$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm \frac{3}{1}$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm \frac{9}{1}$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

Simplifica y elimina los duplicados (si los hay).

Estas son las posibles raíces racionales: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$.

A continuación, comprueba las posibles raíces: si $$$a$$$ es una raíz del polinomio $$$P{\left(x \right)}$$$, el resto de la división de $$$P{\left(x \right)}$$$ entre $$$x - a$$$ debe ser igual a $$$0$$$ (según el teorema del resto, esto significa que $$$P{\left(a \right)} = 0$$$).

• Compruebe $$$1$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - 1$$$.

  $$$P{\left(1 \right)} = -24$$$; por lo tanto, el resto es $$$-24$$$.

• Compruebe $$$-1$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - \left(-1\right) = x + 1$$$.

  $$$P{\left(-1 \right)} = -24$$$; por lo tanto, el resto es $$$-24$$$.

• Compruebe $$$\frac{1}{2}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{1}{2} \right)} = 0$$$; por lo tanto, el resto es $$$0$$$.

  Por lo tanto, $$$\frac{1}{2}$$$ es una raíz.

• Compruebe $$$- \frac{1}{2}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - \left(- \frac{1}{2}\right) = x + \frac{1}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{1}{2} \right)} = 0$$$; por lo tanto, el resto es $$$0$$$.

  Por lo tanto, $$$- \frac{1}{2}$$$ es una raíz.

• Compruebe $$$\frac{1}{4}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - \frac{1}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; por lo tanto, el resto es $$$\frac{429}{64}$$$.

• Compruebe $$$- \frac{1}{4}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - \left(- \frac{1}{4}\right) = x + \frac{1}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{1}{4} \right)} = \frac{429}{64}$$$; por lo tanto, el resto es $$$\frac{429}{64}$$$.

• Compruebe $$$3$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - 3$$$.

  $$$P{\left(3 \right)} = 0$$$; por lo tanto, el resto es $$$0$$$.

  Por lo tanto, $$$3$$$ es una raíz.

• Compruebe $$$-3$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - \left(-3\right) = x + 3$$$.

  $$$P{\left(-3 \right)} = 0$$$; por lo tanto, el resto es $$$0$$$.

  Por lo tanto, $$$-3$$$ es una raíz.

• Compruebe $$$\frac{3}{2}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - \frac{3}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{3}{2} \right)} = -54$$$; por lo tanto, el resto es $$$-54$$$.

• Compruebe $$$- \frac{3}{2}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - \left(- \frac{3}{2}\right) = x + \frac{3}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{3}{2} \right)} = -54$$$; por lo tanto, el resto es $$$-54$$$.

• Compruebe $$$\frac{3}{4}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - \frac{3}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; por lo tanto, el resto es $$$- \frac{675}{64}$$$.

• Compruebe $$$- \frac{3}{4}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - \left(- \frac{3}{4}\right) = x + \frac{3}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{3}{4} \right)} = - \frac{675}{64}$$$; por lo tanto, el resto es $$$- \frac{675}{64}$$$.

• Compruebe $$$9$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - 9$$$.

  $$$P{\left(9 \right)} = 23256$$$; por lo tanto, el resto es $$$23256$$$.

• Compruebe $$$-9$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - \left(-9\right) = x + 9$$$.

  $$$P{\left(-9 \right)} = 23256$$$; por lo tanto, el resto es $$$23256$$$.

• Compruebe $$$\frac{9}{2}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - \frac{9}{2}$$$.

  $$$P{\left(\frac{9}{2} \right)} = 900$$$; por lo tanto, el resto es $$$900$$$.

• Compruebe $$$- \frac{9}{2}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - \left(- \frac{9}{2}\right) = x + \frac{9}{2}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{9}{2} \right)} = 900$$$; por lo tanto, el resto es $$$900$$$.

• Compruebe $$$\frac{9}{4}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - \frac{9}{4}$$$.

  $$$P{\left(\frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; por lo tanto, el resto es $$$- \frac{4851}{64}$$$.

• Compruebe $$$- \frac{9}{4}$$$: divida $$$4 x^{4} - 37 x^{2} + 9$$$ entre $$$x - \left(- \frac{9}{4}\right) = x + \frac{9}{4}$$$.

  $$$P{\left(- \frac{9}{4} \right)} = - \frac{4851}{64}$$$; por lo tanto, el resto es $$$- \frac{4851}{64}$$$.

Posibles raíces racionales: $$$\pm 1$$$, $$$\pm \frac{1}{2}$$$, $$$\pm \frac{1}{4}$$$, $$$\pm 3$$$, $$$\pm \frac{3}{2}$$$, $$$\pm \frac{3}{4}$$$, $$$\pm 9$$$, $$$\pm \frac{9}{2}$$$, $$$\pm \frac{9}{4}$$$A.

Raíces racionales verdaderas: $$$\frac{1}{2}$$$, $$$- \frac{1}{2}$$$, $$$3$$$, $$$-3$$$A.