Divide $$$x^{4}$$$ entre $$$x^{2} - 1$$$

Escriba el problema en el formato especial (los términos ausentes se escriben con coeficiente cero):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}-1&x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Paso 1

Divide el término principal del dividendo entre el término principal del divisor: $$$\frac{x^{4}}{x^{2}} = x^{2}$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$x^{2} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}$$$.

Resta el dividendo del resultado obtenido: $$$\left(x^{4}\right) - \left(x^{4}- x^{2}\right) = x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{BlueViolet}x^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{BlueViolet}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{BlueViolet}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{BlueViolet}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{BlueViolet}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Paso 2

Divide el término principal del resto obtenido entre el término principal del divisor: $$$\frac{x^{2}}{x^{2}} = 1$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$1 \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1$$$.

Sustrae el resto del resultado obtenido: $$$\left(x^{2}\right) - \left(x^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&x^{2}&{\color{Green}+1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Green}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Green}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Green}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{Green}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Dado que el grado del resto es menor que el grado del divisor, hemos terminado.

La tabla resultante se muestra nuevamente:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{BlueViolet}x^{2}}&{\color{Green}+1}&&&&\text{Pistas}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}-1&{\color{BlueViolet}x^{4}}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{BlueViolet}x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{BlueViolet}x^{2}}\\&-\phantom{x^{4}}&&&&&\\&x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&&&{\color{BlueViolet}x^{2}} \left(x^{2}-1\right) = x^{4}- x^{2}\\\hline\\&&&{\color{Green}x^{2}}&+0 x&+0&\frac{{\color{Green}x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{Green}1}\\&&&-\phantom{x^{2}}&&&\\&&&x^{2}&+0 x&-1&{\color{Green}1} \left(x^{2}-1\right) = x^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Por lo tanto, $$$\frac{x^{4}}{x^{2} - 1} = \left(x^{2} + 1\right) + \frac{1}{x^{2} - 1}$$$.