Divide $$$x^{3} - 2 x^{2}$$$ entre $$$x^{2} + 1$$$

Escriba el problema en el formato especial (los términos ausentes se escriben con coeficiente cero):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{2}+1&x^{3}- 2 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Paso 1

Divide el término principal del dividendo entre el término principal del divisor: $$$\frac{x^{3}}{x^{2}} = x$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$x \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x$$$.

Resta el dividendo del resultado obtenido: $$$\left(x^{3}- 2 x^{2}\right) - \left(x^{3}+x\right) = - 2 x^{2}- x$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DeepPink}x}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{DeepPink}x^{3}}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DeepPink}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DeepPink}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{DeepPink}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&- 2 x^{2}&- x&+0&\end{array}$$

Paso 2

Divide el término principal del resto obtenido entre el término principal del divisor: $$$\frac{- 2 x^{2}}{x^{2}} = -2$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$- 2 \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2$$$.

Sustrae el resto del resultado obtenido: $$$\left(- 2 x^{2}- x\right) - \left(- 2 x^{2}-2\right) = - x+2$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&x&{\color{SaddleBrown}-2}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&x^{3}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&\\\hline\\&&{\color{SaddleBrown}- 2 x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}-2}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&+0 x&-2&{\color{SaddleBrown}-2} \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2\\\hline\\&&&- x&+2&\end{array}$$

Dado que el grado del resto es menor que el grado del divisor, hemos terminado.

La tabla resultante se muestra nuevamente:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DeepPink}x}&{\color{SaddleBrown}-2}&&&\text{Pistas}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{2}}+1&{\color{DeepPink}x^{3}}&- 2 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DeepPink}x^{3}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{DeepPink}x}\\&-\phantom{x^{3}}&&&&\\&x^{3}&+0 x^{2}&+x&&{\color{DeepPink}x} \left(x^{2}+1\right) = x^{3}+x\\\hline\\&&{\color{SaddleBrown}- 2 x^{2}}&- x&+0&\frac{{\color{SaddleBrown}- 2 x^{2}}}{{\color{Magenta}x^{2}}} = {\color{SaddleBrown}-2}\\&&-\phantom{- 2 x^{2}}&&&\\&&- 2 x^{2}&+0 x&-2&{\color{SaddleBrown}-2} \left(x^{2}+1\right) = - 2 x^{2}-2\\\hline\\&&&- x&+2&\end{array}$$

Por lo tanto, $$$\frac{x^{3} - 2 x^{2}}{x^{2} + 1} = \left(x - 2\right) + \frac{2 - x}{x^{2} + 1}$$$.