Divide $$$y^{3}$$$ entre $$$1 - y$$$

Escriba el problema en el formato especial (los términos ausentes se escriben con coeficiente cero):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\- y+1&y^{3}+0 y^{2}+0 y+0\end{array}$$$

Paso 1

Divide el término principal del dividendo entre el término principal del divisor: $$$\frac{y^{3}}{- y} = - y^{2}$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$- y^{2} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}$$$.

Resta el dividendo del resultado obtenido: $$$\left(y^{3}\right) - \left(y^{3}- y^{2}\right) = y^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkBlue}- y^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{DarkBlue}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{DarkBlue}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{DarkBlue}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{DarkBlue}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\end{array}$$

Paso 2

Divide el término principal del resto obtenido entre el término principal del divisor: $$$\frac{y^{2}}{- y} = - y$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$- y \left(- y+1\right) = y^{2}- y$$$.

Sustrae el resto del resultado obtenido: $$$\left(y^{2}\right) - \left(y^{2}- y\right) = y$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&{\color{BlueViolet}- y}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{BlueViolet}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{BlueViolet}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{BlueViolet}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{BlueViolet}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&y&+0&\end{array}$$

Paso 3

Divide el término principal del resto obtenido entre el término principal del divisor: $$$\frac{y}{- y} = -1$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$- \left(- y+1\right) = y-1$$$.

Sustrae el resto del resultado obtenido: $$$\left(y\right) - \left(y-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&- y^{2}&- y&{\color{Fuchsia}-1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&y^{3}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&\\\hline\\&&y^{2}&+0 y&+0&\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&\\\hline\\&&&{\color{Fuchsia}y}&+0&\frac{{\color{Fuchsia}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Fuchsia}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{Fuchsia}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Dado que el grado del resto es menor que el grado del divisor, hemos terminado.

La tabla resultante se muestra nuevamente:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{DarkBlue}- y^{2}}&{\color{BlueViolet}- y}&{\color{Fuchsia}-1}&&\text{Pistas}\\\hline\\{\color{Magenta}- y}+1&{\color{DarkBlue}y^{3}}&+0 y^{2}&+0 y&+0&\frac{{\color{DarkBlue}y^{3}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{DarkBlue}- y^{2}}\\&-\phantom{y^{3}}&&&&\\&y^{3}&- y^{2}&&&{\color{DarkBlue}- y^{2}} \left(- y+1\right) = y^{3}- y^{2}\\\hline\\&&{\color{BlueViolet}y^{2}}&+0 y&+0&\frac{{\color{BlueViolet}y^{2}}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{BlueViolet}- y}\\&&-\phantom{y^{2}}&&&\\&&y^{2}&- y&&{\color{BlueViolet}- y} \left(- y+1\right) = y^{2}- y\\\hline\\&&&{\color{Fuchsia}y}&+0&\frac{{\color{Fuchsia}y}}{{\color{Magenta}- y}} = {\color{Fuchsia}-1}\\&&&-\phantom{y}&&\\&&&y&-1&{\color{Fuchsia}-1} \left(- y+1\right) = y-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Por lo tanto, $$$\frac{y^{3}}{1 - y} = \left(- y^{2} - y - 1\right) + \frac{1}{1 - y}$$$.