Divide $$$v^{4}$$$ entre $$$v^{2} + 1$$$

Escriba el problema en el formato especial (los términos ausentes se escriben con coeficiente cero):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\v^{2}+1&v^{4}+0 v^{3}+0 v^{2}+0 v+0\end{array}$$$

Paso 1

Divide el término principal del dividendo entre el término principal del divisor: $$$\frac{v^{4}}{v^{2}} = v^{2}$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$v^{2} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}$$$.

Resta el dividendo del resultado obtenido: $$$\left(v^{4}\right) - \left(v^{4}+v^{2}\right) = - v^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Violet}v^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{Violet}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{Violet}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Violet}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{Violet}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&- v^{2}&+0 v&+0&\end{array}$$

Paso 2

Divide el término principal del resto obtenido entre el término principal del divisor: $$$\frac{- v^{2}}{v^{2}} = -1$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$- \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1$$$.

Sustrae el resto del resultado obtenido: $$$\left(- v^{2}\right) - \left(- v^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&v^{2}&{\color{Green}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&v^{4}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Green}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{Green}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Green}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{Green}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Dado que el grado del resto es menor que el grado del divisor, hemos terminado.

La tabla resultante se muestra nuevamente:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Violet}v^{2}}&{\color{Green}-1}&&&&\text{Pistas}\\\hline\\{\color{Magenta}v^{2}}+1&{\color{Violet}v^{4}}&+0 v^{3}&+0 v^{2}&+0 v&+0&\frac{{\color{Violet}v^{4}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Violet}v^{2}}\\&-\phantom{v^{4}}&&&&&\\&v^{4}&+0 v^{3}&+v^{2}&&&{\color{Violet}v^{2}} \left(v^{2}+1\right) = v^{4}+v^{2}\\\hline\\&&&{\color{Green}- v^{2}}&+0 v&+0&\frac{{\color{Green}- v^{2}}}{{\color{Magenta}v^{2}}} = {\color{Green}-1}\\&&&-\phantom{- v^{2}}&&&\\&&&- v^{2}&+0 v&-1&{\color{Green}-1} \left(v^{2}+1\right) = - v^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Por lo tanto, $$$\frac{v^{4}}{v^{2} + 1} = \left(v^{2} - 1\right) + \frac{1}{v^{2} + 1}$$$.