Divide $$$u^{3}$$$ entre $$$u - 1$$$

Escriba el problema en el formato especial (los términos ausentes se escriben con coeficiente cero):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u-1&u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Paso 1

Divide el término principal del dividendo entre el término principal del divisor: $$$\frac{u^{3}}{u} = u^{2}$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$u^{2} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}$$$.

Resta el dividendo del resultado obtenido: $$$\left(u^{3}\right) - \left(u^{3}- u^{2}\right) = u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Red}u^{2}}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Red}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Red}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Red}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Paso 2

Divide el término principal del resto obtenido entre el término principal del divisor: $$$\frac{u^{2}}{u} = u$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$u \left(u-1\right) = u^{2}- u$$$.

Sustrae el resto del resultado obtenido: $$$\left(u^{2}\right) - \left(u^{2}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&{\color{DarkMagenta}+u}&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&{\color{DarkMagenta}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{DarkMagenta}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{DarkMagenta}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&u&+0&\end{array}$$

Paso 3

Divide el término principal del resto obtenido entre el término principal del divisor: $$$\frac{u}{u} = 1$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$1 \left(u-1\right) = u-1$$$.

Sustrae el resto del resultado obtenido: $$$\left(u\right) - \left(u-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&u^{2}&+u&{\color{Blue}+1}&&\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&\\\hline\\&&u^{2}&+0 u&+0&\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&\\\hline\\&&&{\color{Blue}u}&+0&\frac{{\color{Blue}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Blue}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{Blue}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Dado que el grado del resto es menor que el grado del divisor, hemos terminado.

La tabla resultante se muestra nuevamente:

$$\begin{array}{r|rrrr:c}&{\color{Red}u^{2}}&{\color{DarkMagenta}+u}&{\color{Blue}+1}&&\text{Pistas}\\\hline\\{\color{Magenta}u}-1&{\color{Red}u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Red}u^{3}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Red}u^{2}}\\&-\phantom{u^{3}}&&&&\\&u^{3}&- u^{2}&&&{\color{Red}u^{2}} \left(u-1\right) = u^{3}- u^{2}\\\hline\\&&{\color{DarkMagenta}u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkMagenta}u^{2}}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{DarkMagenta}u}\\&&-\phantom{u^{2}}&&&\\&&u^{2}&- u&&{\color{DarkMagenta}u} \left(u-1\right) = u^{2}- u\\\hline\\&&&{\color{Blue}u}&+0&\frac{{\color{Blue}u}}{{\color{Magenta}u}} = {\color{Blue}1}\\&&&-\phantom{u}&&\\&&&u&-1&{\color{Blue}1} \left(u-1\right) = u-1\\\hline\\&&&&1&\end{array}$$

Por lo tanto, $$$\frac{u^{3}}{u - 1} = \left(u^{2} + u + 1\right) + \frac{1}{u - 1}$$$.