Divide $$$u^{5}$$$ entre $$$u^{2} + 1$$$

Escriba el problema en el formato especial (los términos ausentes se escriben con coeficiente cero):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{5}+0 u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Paso 1

Divide el término principal del dividendo entre el término principal del divisor: $$$\frac{u^{5}}{u^{2}} = u^{3}$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$u^{3} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}$$$.

Resta el dividendo del resultado obtenido: $$$\left(u^{5}\right) - \left(u^{5}+u^{3}\right) = - u^{3}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{DeepPink}u^{3}}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DeepPink}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DeepPink}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DeepPink}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{DeepPink}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Paso 2

Divide el término principal del resto obtenido entre el término principal del divisor: $$$\frac{- u^{3}}{u^{2}} = - u$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$- u \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u$$$.

Sustrae el resto del resultado obtenido: $$$\left(- u^{3}\right) - \left(- u^{3}- u\right) = u$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&u^{3}&{\color{DarkBlue}- u}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{5}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkBlue}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkBlue}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{DarkBlue}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Dado que el grado del resto es menor que el grado del divisor, hemos terminado.

La tabla resultante se muestra nuevamente:

$$\begin{array}{r|rrrrrr:c}&{\color{DeepPink}u^{3}}&{\color{DarkBlue}- u}&&&&&\text{Pistas}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{DeepPink}u^{5}}&+0 u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DeepPink}u^{5}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DeepPink}u^{3}}\\&-\phantom{u^{5}}&&&&&&\\&u^{5}&+0 u^{4}&+u^{3}&&&&{\color{DeepPink}u^{3}} \left(u^{2}+1\right) = u^{5}+u^{3}\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}- u^{3}}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{DarkBlue}- u^{3}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{DarkBlue}- u}\\&&&-\phantom{- u^{3}}&&&&\\&&&- u^{3}&+0 u^{2}&- u&&{\color{DarkBlue}- u} \left(u^{2}+1\right) = - u^{3}- u\\\hline\\&&&&&u&+0&\end{array}$$

Por lo tanto, $$$\frac{u^{5}}{u^{2} + 1} = \left(u^{3} - u\right) + \frac{u}{u^{2} + 1}$$$.