Divide $$$u^{4}$$$ entre $$$u^{2} + 1$$$

Escriba el problema en el formato especial (los términos ausentes se escriben con coeficiente cero):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\u^{2}+1&u^{4}+0 u^{3}+0 u^{2}+0 u+0\end{array}$$$

Paso 1

Divide el término principal del dividendo entre el término principal del divisor: $$$\frac{u^{4}}{u^{2}} = u^{2}$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$u^{2} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}$$$.

Resta el dividendo del resultado obtenido: $$$\left(u^{4}\right) - \left(u^{4}+u^{2}\right) = - u^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Green}u^{2}}&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Green}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Green}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Green}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{Green}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&- u^{2}&+0 u&+0&\end{array}$$

Paso 2

Divide el término principal del resto obtenido entre el término principal del divisor: $$$\frac{- u^{2}}{u^{2}} = -1$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$- \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1$$$.

Sustrae el resto del resultado obtenido: $$$\left(- u^{2}\right) - \left(- u^{2}-1\right) = 1$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&u^{2}&{\color{Fuchsia}-1}&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&u^{4}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{Fuchsia}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Fuchsia}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Fuchsia}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{Fuchsia}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Dado que el grado del resto es menor que el grado del divisor, hemos terminado.

La tabla resultante se muestra nuevamente:

$$\begin{array}{r|rrrrr:c}&{\color{Green}u^{2}}&{\color{Fuchsia}-1}&&&&\text{Pistas}\\\hline\\{\color{Magenta}u^{2}}+1&{\color{Green}u^{4}}&+0 u^{3}&+0 u^{2}&+0 u&+0&\frac{{\color{Green}u^{4}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Green}u^{2}}\\&-\phantom{u^{4}}&&&&&\\&u^{4}&+0 u^{3}&+u^{2}&&&{\color{Green}u^{2}} \left(u^{2}+1\right) = u^{4}+u^{2}\\\hline\\&&&{\color{Fuchsia}- u^{2}}&+0 u&+0&\frac{{\color{Fuchsia}- u^{2}}}{{\color{Magenta}u^{2}}} = {\color{Fuchsia}-1}\\&&&-\phantom{- u^{2}}&&&\\&&&- u^{2}&+0 u&-1&{\color{Fuchsia}-1} \left(u^{2}+1\right) = - u^{2}-1\\\hline\\&&&&&1&\end{array}$$

Por lo tanto, $$$\frac{u^{4}}{u^{2} + 1} = \left(u^{2} - 1\right) + \frac{1}{u^{2} + 1}$$$.