Divide $$$x^{6}$$$ entre $$$\left(x^{2} + 1\right)^{2}$$$

Reescribe el divisor: $$$\left(x^{2} + 1\right)^{2} = x^{4} + 2 x^{2} + 1$$$.

Escriba el problema en el formato especial (los términos ausentes se escriben con coeficiente cero):

$$$\begin{array}{r|r}\hline\\x^{4}+2 x^{2}+1&x^{6}+0 x^{5}+0 x^{4}+0 x^{3}+0 x^{2}+0 x+0\end{array}$$$

Paso 1

Divide el término principal del dividendo entre el término principal del divisor: $$$\frac{x^{6}}{x^{4}} = x^{2}$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$x^{2} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = x^{6}+2 x^{4}+x^{2}$$$.

Resta el dividendo del resultado obtenido: $$$\left(x^{6}\right) - \left(x^{6}+2 x^{4}+x^{2}\right) = - 2 x^{4}- x^{2}$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{Fuchsia}x^{2}}&&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{4}}+2 x^{2}+1&{\color{Fuchsia}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Fuchsia}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{4}}} = {\color{Fuchsia}x^{2}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+2 x^{4}&+0 x^{3}&+x^{2}&&&{\color{Fuchsia}x^{2}} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = x^{6}+2 x^{4}+x^{2}\\\hline\\&&&- 2 x^{4}&+0 x^{3}&- x^{2}&+0 x&+0&\end{array}$$

Paso 2

Divide el término principal del resto obtenido entre el término principal del divisor: $$$\frac{- 2 x^{4}}{x^{4}} = -2$$$.

Escriba el resultado calculado en la parte superior de la tabla.

Multiplícalo por el divisor: $$$- 2 \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = - 2 x^{4}- 4 x^{2}-2$$$.

Sustrae el resto del resultado obtenido: $$$\left(- 2 x^{4}- x^{2}\right) - \left(- 2 x^{4}- 4 x^{2}-2\right) = 3 x^{2}+2$$$.

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&x^{2}&{\color{DarkBlue}-2}&&&&&&\\\hline\\{\color{Magenta}x^{4}}+2 x^{2}+1&x^{6}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+2 x^{4}&+0 x^{3}&+x^{2}&&&\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}- 2 x^{4}}&+0 x^{3}&- x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkBlue}- 2 x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{4}}} = {\color{DarkBlue}-2}\\&&&-\phantom{- 2 x^{4}}&&&&&\\&&&- 2 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&-2&{\color{DarkBlue}-2} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = - 2 x^{4}- 4 x^{2}-2\\\hline\\&&&&&3 x^{2}&+0 x&+2&\end{array}$$

Dado que el grado del resto es menor que el grado del divisor, hemos terminado.

La tabla resultante se muestra nuevamente:

$$\begin{array}{r|rrrrrrr:c}&{\color{Fuchsia}x^{2}}&{\color{DarkBlue}-2}&&&&&&\text{Pistas}\\\hline\\{\color{Magenta}x^{4}}+2 x^{2}+1&{\color{Fuchsia}x^{6}}&+0 x^{5}&+0 x^{4}&+0 x^{3}&+0 x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{Fuchsia}x^{6}}}{{\color{Magenta}x^{4}}} = {\color{Fuchsia}x^{2}}\\&-\phantom{x^{6}}&&&&&&&\\&x^{6}&+0 x^{5}&+2 x^{4}&+0 x^{3}&+x^{2}&&&{\color{Fuchsia}x^{2}} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = x^{6}+2 x^{4}+x^{2}\\\hline\\&&&{\color{DarkBlue}- 2 x^{4}}&+0 x^{3}&- x^{2}&+0 x&+0&\frac{{\color{DarkBlue}- 2 x^{4}}}{{\color{Magenta}x^{4}}} = {\color{DarkBlue}-2}\\&&&-\phantom{- 2 x^{4}}&&&&&\\&&&- 2 x^{4}&+0 x^{3}&- 4 x^{2}&+0 x&-2&{\color{DarkBlue}-2} \left(x^{4}+2 x^{2}+1\right) = - 2 x^{4}- 4 x^{2}-2\\\hline\\&&&&&3 x^{2}&+0 x&+2&\end{array}$$

Por lo tanto, $$$\frac{x^{6}}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} = \left(x^{2} - 2\right) + \frac{3 x^{2} + 2}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$$.