|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Αριθμομηχανή εφαπτόμενου επιπέδου
Βρείτε εφαπτόμενα επίπεδα βήμα προς βήμα
Η αριθμομηχανή θα προσπαθήσει να βρει το εφαπτόμενο επίπεδο στη ρητή και στην έμμεση καμπύλη στο δοσμένο σημείο, με εμφανή τα βήματα.
Η είσοδός σας
Υπολογίστε το εφαπτόμενο επίπεδο της $$$x^{2} + y^{2} + z^{2} = 14$$$ στο $$$\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)$$$.
Λύση
Η συνάρτηση μπορεί να παρασταθεί στη μορφή $$$F{\left(x,y,z \right)} = 0$$$, όπου $$$F{\left(x,y,z \right)} = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14$$$.
Βρείτε τις μερικές παραγώγους.
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 x$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 y$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right) = \frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right) = 2 z$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής μερικής παραγώγου).
Υπολογίστε τις παραγώγους στο δοθέν σημείο.
$$$\frac{\partial}{\partial x} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 x\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 2$$$
$$$\frac{\partial}{\partial y} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 y\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 6$$$
$$$\frac{\partial}{\partial z} \left(x^{2} + y^{2} + z^{2} - 14\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = \left(2 z\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(1, 3, 2\right)\right)} = 4$$$
Η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου είναι $$$\frac{\partial}{\partial x} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(x - x_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(y - y_{0}\right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(F{\left(x,y,z \right)}\right)|_{\left(\left(x, y, z\right) = \left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)\right)} \left(z - z_{0}\right) = 0.$$$
Στην περίπτωσή μας, $$$2 \left(x - 1\right) + 6 \left(y - 3\right) + 4 \left(z - 2\right) = 0$$$.
Αυτό μπορεί να ξαναγραφεί ως $$$2 x + 6 y + 4 z = 28$$$.
Ή, απλούστερα: $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7$$$.
Απάντηση
Η εξίσωση του εφαπτόμενου επιπέδου είναι $$$z = - \frac{x}{2} - \frac{3 y}{2} + 7 = - 0.5 x - 1.5 y + 7$$$A.