Ιακωβιανός πίνακας των $$$\left\{x = 2 u \cos{\left(5 v \right)}, y = 2 \sin{\left(5 v \right)}\right\}$$$ και η ορίζουσά του
Η είσοδός σας
Υπολογίστε τον Ιακωβιανό πίνακα των $$$\left\{x = 2 u \cos{\left(5 v \right)}, y = 2 \sin{\left(5 v \right)}\right\}$$$.
Λύση
Ο Ιακωβιανός πίνακας ορίζεται ως εξής: $$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{array}\right].$$$
Στην περίπτωσή μας, $$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}\frac{\partial}{\partial u} \left(2 u \cos{\left(5 v \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial v} \left(2 u \cos{\left(5 v \right)}\right)\\\frac{\partial}{\partial u} \left(2 \sin{\left(5 v \right)}\right) & \frac{\partial}{\partial v} \left(2 \sin{\left(5 v \right)}\right)\end{array}\right].$$$
Βρείτε τις παραγώγους (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής παραγώγου): $$$J{\left(x,y \right)}\left(u, v\right) = \left[\begin{array}{cc}2 \cos{\left(5 v \right)} & - 10 u \sin{\left(5 v \right)}\\0 & 10 \cos{\left(5 v \right)}\end{array}\right].$$$
Η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι η ορίζουσα της Ιακωβιανής μήτρας: $$$\left|\begin{array}{cc}2 \cos{\left(5 v \right)} & - 10 u \sin{\left(5 v \right)}\\0 & 10 \cos{\left(5 v \right)}\end{array}\right| = 20 \cos^{2}{\left(5 v \right)}$$$ (για τα βήματα, δείτε υπολογιστής ορίζουσας).
Απάντηση
Ο Ιακωβιανός πίνακας είναι $$$\left[\begin{array}{cc}2 \cos{\left(5 v \right)} & - 10 u \sin{\left(5 v \right)}\\0 & 10 \cos{\left(5 v \right)}\end{array}\right]$$$A.
Η Ιακωβιανή ορίζουσα είναι $$$20 \cos^{2}{\left(5 v \right)}$$$A.